Dijkstra算法详解：图的最小生成树与最短路径

Dijkstra算法是图论中的一个重要算法，用于求解有向图或无向图中的单源最短路径问题。在这个章节中，我们首先讨论了图的基本概念，包括： 1. 图的定义：图是由两个集合组成，一个是顶点集V（代表图中的节点），另一个是边集E（表示节点之间的连接关系）。无向图中的边是无序对，没有方向，如{(v1, v2), (v1, v4), ...}；而有向图的边则是有序对，具有方向，如={<v1, v2>, <v1, v3>, ...}。 2. 图的术语：顶点（Vertex）是图中的基本元素，边（Edge）则表示两个顶点之间的连接。在带权图中，边或弧上可以附带数值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。 4.1 图的基本概念进一步阐述了图的结构和特性，例如无向图和有向图的区别，以及无向图和有向图的边数上限（对于无向图，e≤n(n-1)，对于有向图，0≤e≤n(n-1)）。 章节的核心内容集中在以下几个部分： - **图的存储及基本操作**：介绍如何在计算机中有效地存储和操作图，可能涉及到邻接矩阵、邻接表等不同的数据结构。 - **图的遍历**：包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），这些是探索图结构的基础方法。 - **最小生成树**：Dijkstra算法的应用之一，用于找到无向图中权重最小的连通子图，通常用于网络设计和路由选择。 - **最短路径**：重点讲解了Dijkstra算法，它采用贪心策略，逐步更新从起点到各个顶点的最短路径，直到找到所有顶点的最短路径。 - **拓扑排序**：在有向无环图（DAG）中，按照一定的顺序排列顶点，确保每条有向边总是从前面的顶点指向后面的顶点。 - **关键路径**：在项目管理中，关键路径是指决定项目完成时间最长的一系列任务，涉及时间依赖性和关键活动。 - **图的应用**：列举了图在实际生活和IT领域的广泛应用，比如社交网络分析、网络路由、计算机视觉等。 这一章节深入探讨了图的概念和处理方法，并通过Dijkstra算法展示了其在优化问题中的强大作用，是理解计算机科学中复杂数据结构和算法的重要环节。