卡尔曼滤波详解：递推公式与信号模型

本资料主要讲解了卡尔曼滤波的原理和应用，包括卡尔曼滤波的起源、适用范围、处理方法以及信号模型的建立。特别强调了卡尔曼滤波与维纳滤波的区别，指出卡尔曼滤波适用于非平稳随机过程，并采用递推算法，仅需前一时刻的估计值和当前观测数据。 卡尔曼滤波是一种在最小均方误差准则下进行最佳线性估计的滤波方法，由匈牙利数学家鲁道夫·卡尔曼提出。他的博士论文和后续的论文奠定了这一领域的基础。与维纳滤波相比，卡尔曼滤波不局限于平稳随机过程，它可以处理非平稳信号。卡尔曼滤波器的工作方式是基于状态空间模型，通过状态方程和量测方程来描述系统动态。 在信号模型的建立上，卡尔曼滤波与维纳滤波有所不同。维纳滤波基于信号与噪声的相关函数，而卡尔曼滤波则基于状态演变和观测数据的关系。状态方程描述了系统状态如何随时间变化，通常表示为线性形式：x(k+1) = Ax(k) + Be(k)，其中x(k)是状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，e(k)是状态噪声。 量测方程则将系统的状态映射到可观测的量测数据，通常写作：y(k) = Hx(k) + v(k)，其中y(k)是量测向量，H是量测矩阵，v(k)是量测噪声。卡尔曼滤波算法的核心在于递推地更新状态估计，利用前一时刻的估计值和当前的观测数据，通过一系列数学运算得到最优的估计。 卡尔曼滤波器的主要特点包括： 1. **最优性**：在最小均方误差准则下，卡尔曼滤波提供了最佳线性估计。 2. **递推性**：算法不需要存储所有历史观测数据，只需要前一时刻的估计值和当前观测值。 3. **自适应性**：能够在线调整滤波器参数，适应系统状态的变化。 4. **适用性广**：不仅适用于一维信号处理，还能够处理高维随机过程。 卡尔曼滤波在导航、航空航天、控制系统、图像处理、通信等领域有广泛应用。离散卡尔曼滤波算法因其适合计算机实现，被广泛应用于实时系统中。理解并掌握卡尔曼滤波的基本原理和算法，对于解决实际中的信号处理问题至关重要。