MATLAB控制系统的稳定性分析与判据

本资料是关于《控制系统MATLAB仿真》的第九次授课教材，主要讲解了如何使用MATLAB进行系统稳定性分析。 在控制理论中，MATLAB是一款强大的工具，尤其在系统分析和仿真方面。本讲义关注的是系统稳定性分析，这是线性控制系统设计的关键环节。系统稳定性是衡量一个控制系统能否在扰动后恢复到平衡状态的重要指标。在MATLAB中，可以通过计算特征方程的根来判断系统的稳定性。 首先，系统稳定性的一般定义指出，如果线性定常系统在受到扰动后能够随着时间推移自动返回到原来的平衡状态，那么这个系统就被认为是稳定的。系统稳定的充分必要条件是其闭环特征方程的所有根都位于复平面的左半部分，即所有极点的实部都小于零。 讲义中提到了三种可能的情况： 1. 如果所有极点都在s平面的左侧，系统稳定，输出会衰减至零。 2. 极点位于虚轴上，系统处于临界稳定，输出呈现简谐振荡。 3. 极点位于s平面的右侧，系统不稳定，输出将无限制振荡。 为了分析系统的稳定性，我们需要解出闭环特征方程的根。MATLAB中的`roots()`函数可以方便地完成这一任务，它属于代数稳定性判据。然而，对于高阶系统，直接求解特征根可能很复杂，因此引入了稳定性判据，如劳斯判据和赫尔维茨判据。 劳斯判据是一种数值方法，它基于特征方程的系数来判断系统的所有特征根是否都在s平面的左半部分。通过构建劳斯矩阵并检查其元素的符号，可以判断系统的稳定性。如果劳斯矩阵的所有对角元素都是正的，并且所有主对角线以上的元素也是非负的，那么系统是稳定的。 本讲义虽然没有涉及赫尔维茨判据，但它是另一种重要的稳定性分析工具，它利用系统传递函数的零点和极点位置来判断系统稳定性。在实际应用中，这些稳定性判据帮助工程师理解和设计出满足特定稳定性要求的控制系统。 总结来说，MATLAB在控制系统分析中扮演着核心角色，提供了解决系统稳定性问题的实用工具和方法。通过掌握这些知识，工程师可以更有效地设计和优化控制系统的性能。