K-酉矩阵性质与Hermite矩阵相合：新定义与重要性

本文主要探讨了K-酉矩阵的性质及其与Hermite矩阵相合的研究。作者王忠全在河海大学理学院工作，他在处理Hermite矩阵的Hermite相合问题时，发现了一类与酉矩阵性质类似的特殊矩阵，即K-酉矩阵。K-酉矩阵的名称来源于其定义中包含的符号差矩阵K，这是一种特殊的矩阵，当其所有特征值位于复平面上的单位圆内部或外部时，满足K-酉矩阵的定义。 K-酉矩阵的定义基于符号差矩阵和酉矩阵，要求一个矩阵W与K相乘后得到的转置与原矩阵的乘积的逆相等，即\( KWK^* = I \)。作者首先给出了符号差矩阵和K-酉矩阵的定义，并证明了K-酉矩阵在乘法运算下形成一个群，即如果V和W是K-酉矩阵，那么它们的乘积WV也保持K-酉性质。 在理论部分，作者着重研究了K-酉矩阵的一些基本性质，比如K-酉矩阵乘法的封闭性以及与酉矩阵的对比。他还提出了关于K-酉矩阵的几个等价条件，这些条件对于理解和判断一个矩阵是否为K-酉矩阵至关重要。例如，定理2指出，对于K-酉矩阵W和其对应非零特征值λ的特征向量α，有特定的关系。 在研究2阶Hermite矩阵时，作者以定理的形式给出了一个关键结果，即当一个2阶Hermite矩阵满足特定条件时，它是K-酉矩阵。这表明K-酉矩阵在处理Hermite矩阵的Hermite相合问题中具有重要作用。 尽管K-酉矩阵的概念相对较新，但它作为一种新型的矩阵结构，对矩阵理论的发展有着积极的影响。它不仅扩展了矩阵理论的研究范围，也为矩阵在各个科学领域的实际应用提供了新的工具和可能性。研究K-酉矩阵不仅可以深化我们对矩阵性质的理解，还能促进矩阵相合问题的解决效率和精确性。因此，深入研究K-酉矩阵的理论和应用前景广阔。