向量与线性方程组解析：概念、计算与MATLAB应用

该资源是一份关于数学和MATLAB编程的习题解答，主要涵盖向量、矩阵理论和线性方程组的相关概念。 在这一章的复习要求中，重点强调了以下几个知识点： 1. 向量的线性组合与向量空间：理解二维和三维向量的线性组合，并理解为什么基向量需要线性无关，这关系到向量空间的定义和性质。 2. 向量的点乘和叉乘：掌握点乘（内积）和叉乘的定义，以及它们与平面和立体几何的关系，例如点乘可以用于计算两向量的夹角，叉乘可以计算向量所张成的平行四边形或六面体的面积和体积。 3. 行列式的性质：理解行列式可以表示多边形或多面体的体积，并与向量线性无关性相联系。 4. 向量的归一化：学习如何将向量规范化，以及归一化向量间的夹角计算公式，同时理解当两向量点乘为0时，它们是正交的。 5. rref函数的应用：利用MATLAB中的rref函数来判断向量组的线性相关性或线性无关性，以及向量之间的正交性。 6. 线性方程组的几何意义：从向量线性组合的角度探讨线性方程组，区分适定、欠定和超定方程组，理解超定方程组中最小二乘误差与点到平面距离的等价性。 7. 线性方程组的解法：了解解线性方程组Ax=b的表达式x=A\b在不同情况下的适用性，以及在适定、欠定和超定方程组中的区别。 8. MATLAB实践：涉及四个以上三维向量的相关性分析，欠定方程组的MATLAB求解方法，以及超定方程组的解法。 9. MATLAB函数：提到了rank、norm、null、zeros、pinv、drawvec、dot、cross等函数的使用，这些都是MATLAB中处理向量和矩阵的重要工具。 在计算题部分，习题4.1要求找到与给定向量a(1,0,1)垂直且正交的两个单位向量u和v，通过设置条件并应用笛卡尔坐标系，得到解u=[-0.707,0,0.707]，v=[0,1,0]。 习题4.2检查向量[1,1,1]是否属于其他三个向量张成的子空间，通过计算矩阵的阶梯形形式（rref），发现前三个向量的秩为2，表明它们共面，而第四个向量不在这个子空间内。 习题4.3是一个是非题，其中(a)给出了错误的结论，即使三维向量u垂直于v和w，v和w并不一定平行，(b)则是正确的，因为根据线性代数的性质，u垂直于v+2w。