马尔可夫分析步骤详解：转移概率与平稳状态计算

本资源主要介绍了马尔可夫过程及其分析步骤。马尔可夫过程是一种数学模型，用于描述系统状态随时间变化的规律，其中状态之间的转移仅依赖于当前状态而不考虑历史状态，这被称为马尔可夫性质。在分析中，主要包括以下几个关键步骤： 1. **马尔可夫过程分析手段**：通过建立系统的状态转移模型，使用转移概率来刻画状态间的转换。这些概率反映了从一个状态到另一个状态的可能性，是马尔可夫链的核心。 2. **写转移概率**：这是构建马尔可夫模型的关键步骤，即确定状态之间的转移概率Pij，它表示从状态i转移到状态j的概率。一步转移概率矩阵是对所有可能状态转移的集合表示，通常用矩阵形式呈现。 3. **画状态转移图**：通过转移概率矩阵构建状态转移图，图形直观地展示了状态之间的关系和转移路径，有助于理解系统的动态行为。 4. **求平稳概率**：平稳状态或稳态概率是指在无限时间下，系统停留在某个状态的概率。存在一个稳态概率向量Pj，满足条件Pj * P = Pj，其中P是转移概率矩阵。这是衡量系统长期行为的重要指标，表示系统访问各个状态的稳定频率。 5. **复习：Poisson过程**：马尔科夫分析可能会涉及Poisson过程作为基础，它是描述随机事件在时间上独立且均匀发生的理想模型。Poisson过程的特点包括事件数量的独立性和间隔时间的负指数分布。 6. **等车悖论**：作为实际应用中的例子，等车悖论展示了如何利用马尔可夫链理论计算顾客等待下一辆车的平均时间，尽管看起来简单，但展示了模型的实际应用价值。 7. **Markov链的特性**：强调了马尔可夫链的齐次性，即转移概率与时间无关。同时，还复习了一步转移概率和全局平衡方程，这是理解和设计马尔可夫链的关键概念。 通过以上步骤，可以对复杂的系统进行建模，并预测其未来行为，尤其是在诸如排队系统、通信网络等领域具有广泛的应用。