数值分析课件：非线性方程求解方法

"这是一份来自西工大的研究生课程数值分析的课件，主要涵盖了非线性方程求根的几种方法，包括二分法、Newton迭代法以及不动点迭代的基本理论和Newton法的变形。内容由欧阳洁教授讲解，旨在为工科研究生提供基础的数值解法理论知识。" 在数值分析中，解决非线性方程求根问题是非常重要的，因为许多实际问题的解决方案往往不能用简单的解析表达式表示。这一课件首先介绍了求根的近似值方法的必要性，特别是当面对的一般方程无法通过解析方式求解，或者如三次、四次方程的求根公式过于复杂时，数值解法就显得尤为关键。 非线性方程f(x) = 0的根，即函数f在x处的值为零的点，被定义为该方程的解。如果函数在某点连续且其值为零，那么这个点可能是方程的根。对于具有m阶连续导数的函数，该点是m重零点的充要条件可以通过Taylor公式来阐述。具体来说，如果存在一个函数g(x)，使得f(x) = (x - α)^m * g(x)，并且g(α) ≠ 0，那么α就是f(x)的m重零点。 课件详细讲解了二分法，这是一种简单而直观的求根方法。它基于函数的连续性和介值定理，将搜索区间不断减半，直到达到所需的精度。尽管这种方法在理论上有效，但它可能需要很多次迭代才能达到较高的精度，尤其是在函数变化不均匀时。 接着，Newton迭代法被引入，这是寻找函数零点的一种更高效的方法。该方法基于函数的切线，通过迭代逼近零点。Newton法的基本思想是，如果初始近似值足够接近真实根，那么后续的近似值会更快地接近实际根。然而，Newton法的收敛性依赖于初始猜测和函数的导数，如果选择不当，可能会导致不收敛或者慢速收敛。 此外，课件还讨论了不动点迭代的基本理论，这是很多数值方法的基础。不动点迭代是通过构造一个迭代函数，使得其固定点是原方程的解。这种方法的关键在于选择合适的迭代函数，以保证收敛性和收敛速度。 最后，还提到了Newton法的变形，这些变形是为了适应不同类型的方程和优化收敛特性。例如，当直接应用Newton法可能出现问题时，可以采用修正的版本，如Halley法或Householder法。 通过学习这部分内容，工科研究生能够掌握数值求解非线性方程的基本工具，为后续的科研工作打下坚实的基础。