"多分辩率分析是数字通信领域中的一个重要概念,由Mallat在其著作中给出定义。这一概念主要应用于现代信号处理,如在胡广书的《现代信号处理教程》中也有深入探讨。多分辩率分析涉及到信号的时频分析、多抽样率信号处理和小波变换等领域,这些内容在信号处理和通信系统中具有广泛的应用。
多分辩率分析的定义包含六个关键性质,这些性质确保了一组子空间能够提供对信号的逐步细化的近似。具体来说:
1. 嵌套性质 (10.2.1): 子空间Z_j是递减嵌套的,即如果一个信号t_x属于V_j,那么它也属于所有的V_{j-k},对于所有非负整数k。
2. 完备性 (10.2.2): 所有子空间的并集构成整个空间R^2的闭包,即\bigcup_{j=-\infty}^{+\infty} V_j = \overline{\bigcup_{j=-\infty}^{+\infty} V_j}。
3. 分辨率 (10.2.3): 如果信号t_x属于V_j,则它的任意尺度版本t_{2^j x}属于V_0。
4. 收敛性 (10.2.4): 当j趋于无穷大时,子空间V_j的交集趋近于零空间,即\bigcap_{j=-\infty}^{+\infty} V_j = \{0\}。
5. 完备性 (10.2.5): 当j趋于无穷大时,子空间V_j的并集完备化为整个空间R^2,即\overline{\bigcup_{j=-\infty}^{+\infty} V_j} = R^2。
6. Riesz基 (基本函数): 对于每个Z_k,存在一个基本函数\theta(t),使得\{\theta_k(t) = 2^k \theta(2^k t - k)\}是V_0中的Riesz基。
这些性质确保了多分辩率分析能够提供不同尺度和频率分辨率下的信号表示,这对于理解和处理复杂信号至关重要。例如,在时频分析中,通过短时傅立叶变换、Gabor展开、Wigner分布和Cohen类分布,我们可以获得信号在时间和频率上的局部特性。而在多抽样率信号处理中,通过滤波器组(如两通道和M通道滤波器组)可以实现信号的抽取、插值和多相表示,这些技术在压缩感知、数据传输和图像处理等领域有广泛应用。
小波变换作为多分辩率分析的一个核心部分,允许我们对信号进行局部化分析,同时保持良好的频域和时域特性。离散小波变换通过多分辨率分析提供了一种有效的方法来分解和重构信号,而小波包进一步扩展了这一概念,允许在更精细的频率层次上分析信号。
胡广书的《现代信号处理教程》深入浅出地介绍了这些概念,不仅适合于教学,也为研究人员和工程师提供了宝贵的参考资料。书中引用了多部经典著作,如Qian Shie和Chen Dapang的《联合时频分析:方法与应用》,P.P. Vaidyanathan的《多速率系统和滤波器组》,以及I. Daubechies的《小波讲座》等,这些书籍都是深入学习多分辩率分析和相关主题的宝贵资源。"