图论与算法应用：逻辑结构、拓扑排序与AOV网实例

本资源是一份关于算法与数据结构的讲义，主要关注图论部分，包括图的逻辑结构和物理结构，以及其中的几个关键应用。具体内容涵盖了以下几个知识点： 1. **图的逻辑结构及物理结构**： - 图是一种非线性数据结构，用于表示元素之间的关系。逻辑结构描述了节点（顶点）和边（连接两个顶点的元素）的概念，而物理结构则涉及如何在内存中存储这些信息，如邻接矩阵和邻接表。 2. **图的遍历**： - 图的遍历是探索图中所有节点的过程，常见的方法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这两种方法有助于理解和分析图的结构。 3. **有环图的应用**： - 最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）：在有向或无向加权图中找到一棵包含所有顶点且总权重最小的树。Prim算法和Kruskal算法是构建最小生成树的经典方法。 - 最短路径：如Dijkstra算法用于寻找图中两点之间的最短路径，或者Floyd-Warshall算法用于计算所有节点对之间的最短路径。 4. **有向无环图（DAG）的应用**： - **拓扑排序**：针对DAG进行的一种排序，通过AOV网（活动-顶点网络）的形式表示任务间的依赖关系，确保任务按照依赖顺序执行。拓扑排序可以用于项目管理、任务调度等领域。 - **关键路径**：在DAG中，关键路径是指从起点到终点的最长路径，它决定了项目的最早完成时间。 5. **拓扑排序的实现**： - 使用邻接表存储图，其中每个顶点节点包含入度域，表示指向它的边的数量。拓扑排序算法的核心在于选择入度为0的顶点并删除，直到所有顶点都有序或发现环。 举例中提到的AOV网展示了如何用顶点表示活动，边表示活动间的先后顺序，展示了拓扑排序的具体应用，包括一个实际的课程依赖关系图和课堂练习中的图的拓扑排序。练习中强调了确定存储结构的重要性，以及入度域在实现拓扑排序算法中的作用。 总结来说，这份文档深入探讨了图论在算法与数据结构中的应用，特别是对于有向图的处理，包括遍历、有环图问题解决策略以及在特定场景下的具体操作，如关键路径的识别和拓扑排序的实施。这对于理解计算机科学中复杂的系统设计和优化问题具有重要意义。