SE(3)变换参数化与流形优化教程

"这篇技术报告深入探讨了SE(3)空间中的刚体变换参数化以及在流形上的优化。作者是José Luis Blanco Claraco，报告由马贝拉大学的机器感知与机器人研究组（MAPIR）发布，讨论了表示旋转部分的三种常见方法：三轴（yaw-pitch-roll）欧拉角、SO(3)中的正交旋转矩阵和四元数。报告涵盖了这些表示之间的等价性、相互转换的公式，以及如何组合姿态与姿态、姿态与点。" 在机器人学中，SE(3)表示三维空间中的特殊欧式群，它结合了平移和旋转两种运动，是描述刚体变换的基础。这个群包含所有可能的三维旋转和平移操作，对于理解和处理机器人的运动学至关重要。本教程旨在提供一个统一的视角来理解SE(3)变换的不同参数化形式。 首先，报告详细介绍了旋转部分的三种主要表示方法： 1. **欧拉角**：通常采用yaw-pitch-roll或Z-Y-X顺序，分别对应绕三个坐标轴的旋转，每个轴上有一个角度。欧拉角直观易懂，但在某些情况下可能会出现万向节死锁（gimbal lock），即某些旋转序列会导致旋转自由度减少。 2. **正交旋转矩阵**：来自SO(3)群，表示三维空间中的无旋刚体变换。正交矩阵有三个特性：正交性（其逆等于其转置）、行列式为1（保持体积不变）和单位长度列向量（代表坐标轴）。这种表示避免了万向节死锁问题，但计算和表示相对复杂。 3. **四元数**：四元数是一种扩展复数系统，用于表示三维旋转。它们具有四个分量，其中三个是虚部，一个实部。四元数提供了一种紧凑且无万向节死锁的表示，但理解起来比旋转矩阵和欧拉角更抽象。 报告还详细阐述了如何在这三种表示之间进行转换，这在实践中非常有用，因为不同的算法和库可能使用不同的表示。此外，报告还解释了如何将这些变换应用于姿态组合（如两个连续的旋转和平移）以及姿态与点的组合，这对于机器人路径规划、定位和姿态控制至关重要。 最后，报告提到了在流形上的优化，这是处理SE(3)变换时的一种高效方法。在流形上优化意味着在保持旋转矩阵正交性和四元数单位长度等约束条件下进行优化，避免了优化过程中的不稳定性。 这篇技术报告是理解并应用SE(3)变换及其参数化的重要参考资料，对从事机器人学、计算机视觉和运动控制等领域的研究者和工程师非常有价值。