MATLAB优化工具箱之非线性规划解析

"本文主要介绍了MATLAB优化工具箱在非线性规划中的应用，特别是二次规划和非线性规划的解决方法。优化工具箱包含了多种优化问题的解决函数，包括方程求根、方程组求解、有界单变量优化、无约束优化以及线性和非线性规划等。" 在MATLAB的优化工具箱中，二次规划是通过quadprog函数来解决的。quadprog函数用于求解标准形式的二次规划问题，即目标函数为二次函数，约束条件可以是线性的等式或不等式。函数的基本调用形式如下： ```matlab x = quadprog(H, c, A1, b1) [x, fv, ef, out, lag] = quadprog(H, c, A1, b1, A2, b2, v1, v2, x0, opt) ``` 其中，H是目标函数的系数矩阵，c是目标函数的常数项向量，A1和b1定义了不等式约束，A2和b2定义了等式约束，v1和v2分别给出了变量的下界和上界。quadprog函数使用有效集方法处理中等规模的问题，而在大规模问题（仅包含等式约束或仅包含上下界约束）中，它采用置信域方法。 以一个具体的例子来说明，假设我们有以下二次规划问题： ```matlab minimize f(x) = 2x_1^2 + 3x_2^2 - 3x_1 - 2x_2 subject to -2x_1 + x_2 <= 3 x_1 - 3x_2 >= 3 x_1, x_2 >= 0 ``` 将问题转换为标准形式后，可以输入如下代码： ```matlab H = [4, -3; -3, 6]; c = [-3, 1]; A1 = [-2, 1; 1, -3]; b1 = [3, 3]; A2 = [1, 2]; b2 = 3; v1 = [2, -Inf]; v2 = [Inf, 0]; [x, fv, ef, out, lag] = quadprog(H, c, A1, b1, A2, b2, v1, v2); ``` 运行后，会得到最优解x、目标函数值fv以及其他输出参数，如乘子lag，它提供了关于有效约束的信息。 非线性规划则是通过fmincon、fminimax、fgoalattain等函数来解决的。这些函数适用于目标函数或约束条件为非线性的情况，可以处理有界、无约束或带有各种类型约束的优化问题。例如，fmincon函数可用于求解具有不等式、等式约束和上下界约束的非线性极小化问题。 MATLAB优化工具箱提供了丰富的功能，不仅限于上述介绍，还包括对非光滑优化、全局优化、线性规划、非线性最小二乘等问题的支持。这使得它成为解决各种数学优化问题的强大工具，适用于科研和工程计算等多个领域。