中国剩余定理：交换幺环结构的构造性算法

中国剩余定理是数论中的一个重要概念，它在中国古代数学史上占有特殊地位，因其与交换幺环的结构有关。该定理指出，如果给定一组互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及相应的余数xi (i=1到n)，存在且唯一存在一个整数x，使得对于所有i，x除以mi的余数等于xi。这可以通过构造性证明来实现，其中通过计算Mi=M/n乘以mi的逆元ai（模mi），将每个xi映射到一个整数x，使得x ≡ xi (mod mi)。 算法4.16展示了直接的中国剩余定理求解方法，但当Mi（即Mi=M/mi）较大时，直接求逆可能效率不高。于是，算法4.17提出了改进，引入pi = m1 * ... * mi-1 (mod mi)（i=2到n），并利用扩展欧几里得算法找到ui和vi，使得uipi + vimi = 1，这样可以简化求逆过程，提高计算效率。 计算机代数系统（CAS）是这些数学原理的实际应用，特别是在处理符号计算方面。CAS能够处理高精度运算、数论问题（如中国剩余定理）、数学常数计算、精确线性代数、多项式操作（如因式分解）、方程求解、符号级数求和、符号积分和微分方程的符号解等。这些都是构建计算机代数系统的基础，也是纯数学研究和实际工程应用中的关键工具。 然而，中国的计算机代数系统发展相对滞后，尽管有巨大的市场需求，但由于科学软件的复杂性以及国内创新环境的不足，尚未形成具有竞争力的通用系统。这不仅导致了科研和工程成本的外流，也对国家的信息安全构成潜在威胁。因此，提升国内计算机代数系统的技术研发能力和创新能力是至关重要的。国际上，像Wolfram Research和Maplesoft这样的大型商业软件公司已在这方面取得了显著成就，而国内应借鉴和追赶这些先进经验，推动科学软件领域的发展。