马赛克图与对数线性模型在列联表分析中的应用

"马赛克图-电子计算机算法手册algol-60" 马赛克图是一种用于展示多维列联表数据的统计图形，尤其适用于处理高维数据。这种图表由一系列矩形块组成，其大小与数据的频数成比例，整体效果如同马赛克拼接而成。在马赛克图中，各矩形块的面积表示不同变量类别组合的相对频率，从而直观地揭示不同变量间的关系。 马赛克图的基础是统计学中的对数线性模型。在二维列联表的情况下，独立性假设意味着每个单元格的频率（πij）等于相应行和列的边际频率的乘积（πi·π·j）。取对数后，公式变为log(πij) = log(πi·) + log(π·j)，这可以转化为频数形式的对数线性模型：log(µij) = λ + λri + λcj，其中λri和λcj分别代表行效应和列效应，λ为常数。通过对数线性模型的拟合，可以估计出行列效应的值。 对数线性模型在马赛克图中的应用体现在单元格的残差分析上。常见的残差类型包括似然比残差（G2）、Pearson χ2残差和Freeman-Tukey残差。似然比残差G2定义为2倍的(nij * log(nij / µ̂ij))之和，而Pearson χ2残差则为(nij - µ̂ij)^2 / µ̂ij的和。这些残差用来评估实际观测值与模型预测值之间的差异，帮助分析模型的适应性和数据的分布特征。 马赛克图在R统计环境中可以通过特定的包和函数进行绘制。例如，使用ggplot2库可以创建复杂的马赛克图，通过设置不同的颜色和透明度来突出显示不同区域的相对大小和差异。此外，其他统计软件如SAS、SPSS和Python的seaborn库也提供了绘制马赛克图的功能。 现代统计图形的发展，如谢益辉所著《现代统计图形》，强调了利用开放源代码工具（如R语言）进行数据可视化的重要性。R语言因其丰富的图形包和社区支持，成为绘制包括马赛克图在内的各种统计图形的首选工具。作者选择采用Creative Commons "署名—非商业性使用—相同方式共享"许可证，旨在鼓励知识的自由传播和再创造，同时保护创作者的署名权，并限制商业用途，体现了R语言社区的分享精神。