树状数组：高效求和与修改操作

"树状数组PDF" 树状数组是一种高效的数据结构，主要应用于动态维护数组的前缀和问题，尤其在处理大规模数据时表现出优秀的性能。它由数组C[]构成，其中C[i]存储了从A[i-2^k+1]到A[i]的元素之和，这里的k是i在二进制表示中末尾0的个数。这种结构形成了一棵满二叉树，树的高度不超过logn。 树状数组的主要操作包括修改和查询前缀和： 1. **修改操作**：如果要修改A[i]的值，从C[i]开始向上更新，直至根节点，每次更新的节点是当前节点的父节点，即下标为p=i+i&(i^(i-1))的节点。这个过程的复杂度是O(logn)，因为最多经过logn层就能到达根节点。 2. **求和操作**：要计算前n项和，只需要找到所有覆盖到n的最大子树的根节点，将它们的C值相加。这些子树的数量是n在二进制表示中1的个数，因此总复杂度同样是O(logn)。 树状数组的效率来源于它巧妙地将线性操作转化为对数级操作，通过位运算快速确定父节点和子树的关系。例如，`int Lowbit(int t)`函数用于返回t的最低位1所对应的2的幂，这是实现树状数组的关键辅助函数。 以下是简化的代码实现示例： ```cpp // 求最小幂2^k int Lowbit(int t) { return t & (t^(t-1)); } // 修改操作，增加A[i]的值val void Update(int i, int val) { while (i <= n) { // n是数组的长度 C[i] += val; i += Lowbit(i); } } // 查询前n项和 int Query(int i) { int sum = 0; while (i > 0) { sum += C[i]; i -= Lowbit(i); } return sum; } ``` 理解并熟练运用树状数组对于解决动态区间求和、统计等问题至关重要，特别是在算法竞赛和实际工程中，能够大大提高代码的效率和性能。通过深入学习和实践，可以掌握如何在不同的场景下灵活应用树状数组来优化解决方案。