计算几何：常用算法详解与应用实例

"计算几何是计算机科学中的一个重要领域，特别是在算法竞赛如ACM中常被运用，它涉及到处理几何形状、线条、点等元素的数学运算。本文主要介绍了几个关键的计算几何算法： 1. 矢量概念与运算： - 矢量是具有方向性的线段，如有向线段p1p2，其起点p1可视为矢量P。矢量的加法和减法遵循标准的算术规则，如P+Q=(x1+x2,y1+y2)和P-Q=(x1-x2,y1-y2)。这些基本操作是后续算法的基础。 2. 矢量叉积： - 矢量叉积是计算几何的核心，它定义为由四个点(0,0), p1, p2, 和 p1+p2构成的平行四边形的面积符号，即P×Q = x1*y2 - x2*y1。这个运算不仅可以表示面积，还可以判断两个矢量的方向关系：当P×Q>0时，P沿顺时针方向相对于Q；P×Q<0时，P沿逆时针方向；P×Q=0时，P与Q共线。 3. 折线段拐向判断： - 通过计算两个连续线段(p0p1, p1p2)的拐向，使用矢量叉积(p2-p0)×(p1-p0)的符号，可以确定线段的转向。如果结果为正，表示从p0到p1再到p2的转向是顺时针；负则为逆时针；零表示三点共线。 4. 点在线段上的判断： - 要判断点Q是否在线段P1P2上，需满足(Q-P1)×(P2-P1)=0以及Q在由P1和P2构成的矩形区域内。这样既确保Q在直线P1P2上，又排除了在线段延长线或反向延长线上的可能。 这些算法在解决涉及空间位置、碰撞检测、路径规划等问题时非常有用，是编程竞赛中解决几何问题的有效工具。理解并熟练运用这些基础几何算法，可以帮助参赛者提高解决问题的效率和准确性。"