朱睿图论与网络流习题集精华

图论是一门研究图的结构、性质及其在各种数学领域中的应用的学科。朱睿教授的《图论基础与网络流习题集锦》提供了丰富的学习资料，涵盖了图论的基本概念和核心问题。该习题集主要包括以下几个关键知识点： 1. **图论基础**： - **定义**：无向图和有向图被抽象为点集V和边集E的组合，无向图中边是无序对，而有向图则是有序对。简单图指的是没有平行边和环的图。 - **度与入度、出度**：在无向图中，一个点的度是与其相连的边的数量；在有向图中，入度是进入该点的边数，出度是从该点出发的边数。 - **K-正则图**：所有点的度数都相同的无向简单图，具有特定的度数K。 - **握手定理**：无向图中所有顶点的度数总和等于2乘以边的数量。 - **同构性**：两个图如果可以通过双射保持边的关系，即边的存在条件不变，它们就是同构的。 2. **生成树与最小生成树**： - **生成树**：无向连通图中去掉一条或多条边后形成的最小连通子图。 - **最小生成树算法**：包括Prim算法和Kruskal算法，用于在加权图中找到权重最小的生成树。 - **生成树计数**：Matrix-Tree定理指出，一个无向图的生成树个数可以用其Laplace算子的特定行列式来计算。 3. **欧拉回路与哈密顿回路**： - **欧拉回路**：在连通图中，从任意一点出发，沿每条边恰好经过一次且最后返回起点的路径，满足度数奇偶性规则。 - **哈密顿回路**：与欧拉回路类似，但要求路径必须遍历每个顶点恰好一次，区别在于无需考虑边的重复。 这些知识点在解决实际问题中有着广泛的应用，例如网络设计、路由算法、社交网络分析等。通过练习这些习题，学生可以深入理解图论的基本原理，并提升解决问题的能力。无论是理论学习还是实际工程中，图论都是不可或缺的一部分。