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定理 1 (收敛性). 假设条件 $0\le\gamma \mathcal{J}^*(e(k+ $$ 1))\le \delta
U(e(k),u(e(k)))$ $ (0<\delta<\infty) $一致成立且初始代价函数满足
$0\;\le\;\underline{\delta}\mathcal{J}^*(e(k))\;\le \;V_0(e(k))\;\le
$$ \overline{\delta}\mathcal{J}^*(e(k))$, 其中 $ 0\le \underline{\delta}\le 1\le\overline{\delta}<
\infty $. 如果跟踪控制律序列$ \{\nu_i\} $和代价函数序列$ \{V_i\} $按照式(10)和式(11)进
行迭代更新, 且$ V_0(e(k)) = e^{\rm T}(k)\Lambda e(k) $, 则代价函数序列通过以下的不等
式一致收敛到最优代价函数
$$ \begin{split} &\left(1+\frac{\underline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^i}\right)\mathcal{J}^* (e(k))\le V_i(e(k)) \le\\
&\qquad\left(1+\frac{\overline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^i}\right)\mathcal{J}^*(e(k)) \end{split} $$
证明. 首先, 用公式推导来证明不等式的左边部分. 当$ i = 0
$时, $ \underline{\delta}\mathcal{J}^*(e(k))\le V_0(e(k)) $成立. 当$ i = 1 $时, 可以得到
$$ \begin{split} &V_1 (e(k))=\\ &\qquad\min\limits_{u(e(k))}\big\{U(e(k),u(e(k)))+\gamma V_0(e(k+1))\big\} \ge\\
&\qquad\min\limits_{u(e(k))}\big\{U(e(k),u(e(k)))+\gamma \underline{\delta}\mathcal{J}^*(e(k+1))\big\} \ge\\
&\qquad\min\limits_{u(e(k))}\left\{\left(1-\delta\frac{1-\underline{\delta}}{1+\delta}\right)U(e(k),u(e(k)))\;+\right. \\
&\qquad\left.\left(\underline{\delta}+\frac{1-\underline{\delta}}{1+\delta}\right)\gamma \mathcal{J}^*(e(k+1)) \right\} =\\
&\qquad\left(1+\frac{\underline{\delta}-1}{1+\delta^{-1}}\right)\mathcal{J}^*(e(k))\\[-15pt] \end{split} $$
假设不等式(15)的左边部分对于$ i-1 $成立. 对于$ i $, 可以进一步得到
$$ \begin{split} V_i&(e(k))= \\ &\min\limits_{u(e(k))}\{U(e(k),u(e(k)))+\gamma V_{i-1}(e(k+1))\}\ge\\ &
\min\limits_{u(e(k))}\Bigg\{U(e(k),u(e(k)))\;+\\ &\left(1+\frac{\underline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^{i-1}}\right)\gamma \mathcal{J}^*(e(k+1))\;+\\
&\frac{\delta^{i-1}\left(\underline{\delta}-1\right)}{(1+\delta)^{i}}\big(\delta U(e(k),u(e(k)))\;-\\ &\gamma \mathcal{J}^*(e(k+1))\big)\Bigg\}= \\
&\left(1+\frac{\underline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^i}\right)\min\limits_{u(e(k))}\Big\{U(e(k),u(e(k))) \;+\\ &\gamma \mathcal{J}^*(e(k+1))\Bigg\}
= \\ &\left(1+\frac{\underline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^i}\right)\mathcal{J}^*(e(k))\\[-15pt] \end{split} $$
不等式(15)右边的证明过程与之类似, 这里不再详细展开. 接下来, 我们将证明随着迭
代指标增加到无穷时代价函数的一致收敛性. 当$ i\rightarrow \infty $时, 对于
$ 0<\delta<\infty $, 可以推导出
$$ \lim\limits_{i\to\infty}\left\{\left(1+\frac{\underline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^i}\right)\mathcal{J}^*(e(k))\right\} = \mathcal{J}^*(e(k)) $$
和
$$\lim\limits_{i\to\infty}\left\{\left(1+\frac{\overline{\delta}-1}{(1+\delta^{-1})^i}\right)\mathcal{J}^*(e(k))\right\} = \mathcal{J}^*(e(k)) $$
定义$ V_{\infty}(e(k)) = \lim_{i\to\infty}V_i(e(k)) ,$ 进一步可以得到$ V_{\infty}(e(k)) =
\mathcal{J}^*(e(k)) $. 因为$ \Omega $是紧集, 因此可以得到代价函数序列一致收敛
[18]
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实际中值迭代算法的迭代指标不可能增大到无穷, 算法必须在有限的迭代步骤内停止.
通常值迭代过程的停止准则为$ |V_{i+1}(e(k))-V_{i}(e(k))|< \varsigma $, 其中$ \varsigma