多项式逻辑回归示例与参数估计
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更新于2024-08-04
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多项式逻辑回归是一种扩展的逻辑回归方法,它将线性回归模型与逻辑函数结合,以便处理非线性关系。传统逻辑回归使用sigmoid函数(y = 1 / (1 + exp(-x)))来进行二分类问题,但当特征与输出之间的关系并非简单的线性时,就需要引入多项式项来提高模型的复杂性。
在Matlab中,多项式逻辑回归的实现通常包括以下几个步骤:
1. 函数定义:首先,对于多维变量,我们可以构建一个多层多项式模型,将原始特征x代入sigmoid函数,例如,通过$x_1$, $x_2$, ..., $x_d$的线性组合加上多项式的交互项。这可以通过增加额外的特征来实现,如$x_1^2$, $x_1x_2$, ...,然后用这些新的特征重新计算sigmoid函数的输出。
2. 数据生成:使用Matlab生成随机数据集,如上述代码所示,创建二维数据点,并分配两类标签。通过调整数据分布的偏移(如shift变量),模拟真实世界中的不同分布情况。
3. 模型拟训练:针对多维数据,定义一个代价函数,如平方和代价函数(L2-norm)或交叉熵损失函数,用于衡量模型预测与实际标签之间的差异。在多分类问题中,可能会使用softmax函数替换sigmoid函数,但在二分类问题中,交叉熵损失对sigmoid函数的输出更为合适。
4. 参数估计:使用梯度下降法进行参数(权重w和偏置b)的迭代优化。在每次迭代中,计算代价函数对w和b的梯度,然后更新这两个参数,直到达到预设的迭代次数或者代价函数的变化小于某个阈值(tol)。代码中的`logistic_train`函数就是这一过程的具体实现。
5. 结果可视化:在训练过程中,可以实时查看数据点和拟合的决策边界,以直观地理解模型的学习效果。通过绘制训练数据点和分类边界的图,可以观察模型是否正确捕捉了数据集的结构。
多项式逻辑回归在Matlab中通过添加多项式特征和优化算法,使得模型能够适应更复杂的非线性关系,从而提高预测性能。实际应用时,选择合适的多项式阶数和优化策略是关键,以避免过拟合并确保模型的泛化能力。
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2023-03-22 上传
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赵小杏儿
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