多项式逻辑回归示例与参数估计

多项式逻辑回归是一种扩展的逻辑回归方法，它将线性回归模型与逻辑函数结合，以便处理非线性关系。传统逻辑回归使用sigmoid函数（y = 1 / (1 + exp(-x)))来进行二分类问题，但当特征与输出之间的关系并非简单的线性时，就需要引入多项式项来提高模型的复杂性。 在Matlab中，多项式逻辑回归的实现通常包括以下几个步骤： 1. 函数定义：首先，对于多维变量，我们可以构建一个多层多项式模型，将原始特征x代入sigmoid函数，例如，通过$x_1$, $x_2$, ..., $x_d$的线性组合加上多项式的交互项。这可以通过增加额外的特征来实现，如$x_1^2$, $x_1x_2$, ...，然后用这些新的特征重新计算sigmoid函数的输出。 2. 数据生成：使用Matlab生成随机数据集，如上述代码所示，创建二维数据点，并分配两类标签。通过调整数据分布的偏移（如shift变量），模拟真实世界中的不同分布情况。 3. 模型拟训练：针对多维数据，定义一个代价函数，如平方和代价函数（L2-norm）或交叉熵损失函数，用于衡量模型预测与实际标签之间的差异。在多分类问题中，可能会使用softmax函数替换sigmoid函数，但在二分类问题中，交叉熵损失对sigmoid函数的输出更为合适。 4. 参数估计：使用梯度下降法进行参数（权重w和偏置b）的迭代优化。在每次迭代中，计算代价函数对w和b的梯度，然后更新这两个参数，直到达到预设的迭代次数或者代价函数的变化小于某个阈值（tol）。代码中的`logistic_train`函数就是这一过程的具体实现。 5. 结果可视化：在训练过程中，可以实时查看数据点和拟合的决策边界，以直观地理解模型的学习效果。通过绘制训练数据点和分类边界的图，可以观察模型是否正确捕捉了数据集的结构。 多项式逻辑回归在Matlab中通过添加多项式特征和优化算法，使得模型能够适应更复杂的非线性关系，从而提高预测性能。实际应用时，选择合适的多项式阶数和优化策略是关键，以避免过拟合并确保模型的泛化能力。