非定常斯托克斯方程的弱Galerkin方法：数值逼近与误差估计

"这篇学术论文探讨了非定常斯托克斯方程的弱Galerkin有限元方法，该方法在一次速度-压力公式中得到应用。文章通过斯托克斯投影技术，为速度的H1范数和速度与压力的L2范数提供了数值近似的最佳阶误差估计。此研究发表于2018年的《美国计算数学杂志》(American Journal of Computational Mathematics)，作者为Chen Ning和Haiming Gu，来自青岛科技大学的数学与物理学院。" 非定常斯托克斯方程是流体力学中的一个基本模型，用于描述无粘性、不可压缩流体的动态行为。在许多工程和科学问题中，如流体动力学、生物流体动力学等领域，非定常斯托克斯方程起着至关重要的作用。然而，由于其复杂的数学结构，求解这些方程通常是一项挑战。 弱Galerkin有限元方法（Weak Galerkin Finite Element Method, WG方法）是一种新兴的数值分析技术，它在处理偏微分方程时，通过对连续函数空间进行离散化来降低计算复杂度。这种方法的一个主要优点是它可以允许在有限元空间中使用较弱的正则性条件，从而能处理更广泛的几何形状和网格类型。 在本文中，作者介绍了一种应用于非定常斯托克斯方程的弱Galerkin方法。他们将问题转化为一次速度-压力公式，这是一种常见的流体动力学问题的变形式。通过斯托克斯投影，作者能够对速度场的H1范数（表示空间连续性和梯度的平方的积分）和速度与压力的L2范数（表示函数平方的积分）建立误差估计。H1范数的误差估计反映了速度场的局部精度，而L2范数的误差估计则关注整体的能量误差。 斯托克斯投影是流体动力学中常用的技术，它允许将速度场投影到满足无旋条件的空间，从而保持流体的无粘性特性。在弱Galerkin方法中，这种投影有助于确保数值解的稳定性和精确性。 作者通过理论分析和数值实验，证明了所提出的数值方法具有最优阶误差估计，这意味着随着网格分辨率的提高，误差会以预定的速度减小。这对于确保数值模拟的精度和可靠性至关重要。 此外，该研究还讨论了如何构建满足Babuska-Brezzi条件（即著名的“inf-sup”条件）的有限元空间，这是保证数值方法稳定性的重要条件。Babuska-Brezzi条件确保了压力和速度之间的正确耦合，防止了数值解中的不稳定性。 这篇论文为非定常斯托克斯方程的数值求解提供了一种新的弱Galerkin方法，该方法结合斯托克斯投影，实现了对速度和压力的高精度近似，并通过理论分析和实证验证了其有效性和效率。这对于进一步发展和应用有限元方法解决流体动力学问题具有重要的理论价值和实际意义。