非线性基函数模型在回归分析中的应用

"这篇文档是关于模式识别与机器学习中的线性基函数模型，主要讨论了线性回归、非线性扩展以及模型选择等相关概念。文档出自马春鹏的著作，并涉及概率论、决策论、信息论等多个领域。" 线性基函数模型是机器学习中用于解决回归问题的一种方法。在最基础的线性回归模型中，输出变量\( y \)是输入变量\( x \)的线性组合，即\( y(x,w) = w_0 + w_1x_1 + \ldots + w_Dx_D \)，这里的\( w_0, w_1, \ldots, w_D \)是权重参数，\( x = (x_1, \ldots, x_D)^T \)是输入向量。然而，这样的模型在处理非线性关系时受到限制，因此引入了基函数的概念，将输入变量的非线性函数进行线性组合，形成更广泛的模型： \[ y(x,w) = w_0 + \sum_{j=1}^{M-1} w_j\phi_j(x) \] 这里，\( \phi_j(x) \)是基函数，\( M-1 \)是基函数的最大下标，模型的参数总数为\( M \)。通常，会添加一个常数基函数\( \phi_0(x) = 1 \)来表示数据中的偏置项，使得模型可以表达任何固定偏置，即： \[ y(x,w) = \sum_{j=0}^{M-1} w_j\phi_j(x) = w^T\phi(x) \] 其中，\( w = (w_0, \ldots, w_{M-1})^T \)，\( \phi = (\phi_0, \ldots, \phi_{M-1})^T \)。例如，多项式拟合就是一个线性基函数模型的特例，其中基函数是输入变量的幂次。 使用非线性基函数可以使模型能够捕捉输入向量的非线性特性，但即使如此，由于模型仍然是参数\( w \)的线性函数，因此仍称为线性模型。这种线性对模型的分析带来了便利，但也限制了模型的灵活性，可能导致过拟合或欠拟合的问题。 在模式识别和机器学习中，往往需要对原始数据进行预处理或特征提取，基函数可以用来表示这些预处理后的特征。例如，多项式基函数\( \phi_j(x) = x^j \)是输入变量\( x \)的全局函数，适用于简单的非线性情况，但可能无法应对复杂的非线性关系。 文档中还提到了概率论的相关概念，如概率密度、期望和协方差、贝叶斯概率，以及信息论中的相对熵和互信息。此外，决策论中的最小化错误分类率、最小化期望损失、拒绝选项、推断和决策以及回归问题的损失函数等都是模型选择和评估的重要考虑因素。最后，文档还讨论了正则化最小二乘、贝叶斯线性回归、证据近似等高级主题，这些都是构建有效模型时经常遇到的技术。