Wiener-Chaos与Wiener-Hermite方法在随机范德波尔方程求解中的对比与优化

本文探讨了在高斯白噪声环境下，针对随机范德波尔方程（SVDP）的深入研究。SVDP是一种重要的数学模型，广泛应用于物理、工程等领域，尤其在描述受随机扰动的非线性振动系统时。研究者们采用Wiener-Chaos扩展技术（WCE）和Wiener-Hermite扩展（WHE）这两种先进的数学工具，将原随机问题转化为确定性的微分方程系统（DDEs），以求得更精确的解。 WCE在本研究中展现出更高的准确性，它的编程实现更为便捷，且在保持同样精度的前提下，其计算效率优于WHE。这意味着WCE在处理此类随机问题时具有显著的优势，尤其是在处理大规模数据和复杂非线性项时。此外，研究还发现，随着扩展顺序的增加，高斯随机变量（GRV）的数量对结果的影响更加高效，这可能涉及到对随机过程统计特性的有效利用。 通过数值技术，研究人员成功求解了由WCE和WHE方法导出的DDEs，并将其与Monte Carlo（MC）模拟的结果进行了对比。这是验证理论解的有效性和误差分析的关键步骤，因为MC模拟提供了基于大量随机试验的真实世界参考。论文指出，所得到的理论结果与MC模拟的吻合度，证明了Wiener-Chaos和Wiener-Hermite扩展技术在处理随机范德波尔方程中的有效性，特别是对于处理复杂的三次非线性项。 通过定理3.1的证明，本文深化了对随机动力学理论的理解，并提供了实际应用中解决这类问题的新方法。这项研究不仅对理论数学家有启示，也对工程实践者处理随机波动问题具有实际指导意义，例如在控制系统设计、信号处理或材料科学等领域。 这篇论文对随机范德波尔方程的求解方法进行了创新性的探索，展示了Wiener-Chaos和Wiener-Hermite扩展技术在解决实际问题上的潜力，以及它们与蒙特卡洛模拟结果的对比分析，为我们理解随机系统的动态行为提供了有价值的洞察。