数值计算方法：插值法与迭代解线性方程组

“数值计算方法上机题徐涛，吉林大学，包括第二章插值法和第六章解线性代数方程组的迭代法的相关计算公式、程序和实例。” 在数值计算方法中，插值法是一种重要的数据拟合技术，用于寻找一个多项式函数，使该函数在给定的一系列离散点上与实际数据吻合。本资料涵盖了第二章的三种插值方法： 1. **Lagrange插值多项式**：Lagrange插值通过构造一系列基于给定点的基多项式来构建插值多项式。每个基多项式仅在对应的数据点取1，在其他点取0。Lagrange插值的优点在于它能精确通过所有给定的点，但可能导致数值不稳定。提供的源程序展示了如何计算Lagrange插值，输入插值点的坐标值和待求点的横坐标，程序将输出该点的函数值。 1. **Newton向前插值**：Newton插值法分为向前和向后两种，向前插值适用于已知x值按顺序排列的情况。它通过差商构建插值多项式，比Lagrange插值更稳定，但可能需要更多的计算。源程序同样给出了Newton向前插值的实现，用于计算给定点的函数值。 第六章讨论了解线性代数方程组的迭代法，这是数值分析中的核心内容，尤其在大规模问题中，直接解法可能不切实际： 1. **雅各比迭代法**：这是一种简单的迭代格式，主要用于求解对角占优的线性方程组。雅各比迭代法的通用程序展示了解决此类问题的步骤，包括更新未知数的过程。 1. **高斯-赛德尔迭代法**：相比于雅各比迭代，高斯-赛德尔迭代法在每次迭代中使用了前一次迭代的最新值，通常能更快地收敛。 1. **SOR（Successive Over-Relaxation）方法**：SOR方法是Gauss-Seidel迭代的优化版本，通过松弛因子调整迭代速度，能够更快地达到稳定状态。 资料中还包括了这些方法的实例计算，帮助理解每种迭代格式的实际应用和效果。通过这些实例，学习者可以更好地掌握数值计算中的插值法和迭代解法，加深对理论知识的理解，并提高编程解决实际问题的能力。