信赖域修正牛顿法求解对称非线性方程组

"余芝云、陈争和马昌凤在2010年发表于《福建师范大学学报(自然科学版)》第26卷第1期的文章中，提出了一种用于求解对称非线性方程组的基于信赖域的修正牛顿法，并在适当条件下证明了该算法的全局收敛性。该方法通过数值实验被证实具有有效性。该研究受到福建省自然科学基金和福建省科技厅资助项目的支持。" 本文的核心内容是介绍一种新的数值计算方法，即基于信赖域的修正牛顿法，用于解决对称非线性方程组的问题。对称非线性方程组是指方程组中的矩阵是对称的，且包含非线性项，这类问题广泛存在于物理学、工程学以及许多其他领域。传统的牛顿法在求解此类问题时可能会遇到局部收敛性不佳或不收敛的情况，因此需要进行改进。 修正牛顿法是牛顿法的一种变体，旨在通过修正迭代过程来提高算法的稳定性和收敛速度。在牛顿法中，每次迭代通常涉及计算目标函数的雅可比矩阵（Jacobian matrix）及其逆，以构建下一次迭代的方向。然而，对于对称非线性方程组，这种方法可能因为矩阵的非对角线元素而导致收敛困难。基于信赖域的策略在此时起到了关键作用，它限制了每一步迭代的搜索空间，使得算法更加可控且有可能实现全局收敛。 在本文中，作者们提出的修正牛顿法结合了信赖域的概念，通过控制迭代步长和调整搜索方向，确保算法在全局范围内收敛。他们给出了算法的详细步骤，并在一定的理论框架下证明了其全局收敛性的条件。此外，通过实施数值实验，作者验证了该方法在实际问题中的有效性，表明它能够有效地求解对称非线性方程组。 论文的关键点在于修正牛顿法的信赖域策略，它不仅提高了算法的收敛性能，还增强了算法的鲁棒性，使其能够在矩阵条件数较差或者非线性程度较高的情况下仍然能够找到解。这种方法对于优化数值计算效率和解决复杂问题具有重要意义，特别是在那些需要处理大规模对称非线性系统的情况下。 这项工作为对称非线性方程组的数值求解提供了一个有效且全局收敛的工具，对于数学建模和科学计算领域具有重要价值。同时，它也为后续研究提供了理论基础和实践指导，尤其是在如何设计更高效的信赖域算法和改进牛顿法的框架内。