非凸QCQP全局解：凸规划方法与区域删减策略

本文主要探讨了非凸二次约束二次规划（QCQP）问题的全局解求解方法，特别是在面对非凸性挑战时如何通过转换和优化策略来逼近全局最优解。首先，作者针对非凸问题的特点，提出了一种策略，即在保留问题中二次函数的凸函数部分，这样做的目的是使得松弛规划的可行域更加紧凑，从而得到原问题更优的下界估计。这种方法避免了完全线性化带来的可能不精确性。 具体实施上，文章采用了正交变换技术来构造一个凸规划的松弛模型。正交变换是一种线性代数工具，它能够保持二次函数的凸性，这对于处理非凸问题至关重要。通过这种转换，原本的非凸问题被转化为一个可以应用已知算法求解的凸规划问题，例如分支定界算法。分支定界算法是一种强大的全局优化方法，它通过递归地划分搜索空间，同时结合上界和下界的比较，逐步接近全局最优解。 为了进一步提高效率和精度，文中还提出了一个区域删减策略。这个策略基于问题的最优性和可行性原则，能够在算法迭代过程中，对分割出的子区域进行整体删除或缩小，有效地减少了无用的计算，从而加快了求解速度。这种方法的引入显示了对算法复杂性的有效管理，确保了算法的实用性。 通过数值算例，作者证明了提出的算法和区域删减策略的有效性。这些算例展示了算法在实际问题中的性能，证实了它们不仅能够找到全局最优解，而且在解决非凸问题时具有显著的优势。 这篇文章提供了一个有效的途径，即通过正交变换和分支定界算法，以及区域删减策略，来求解非凸二次约束二次规划的全局解。这不仅扩展了凸规划方法在非凸优化问题中的应用，也为相关领域的研究者提供了有价值的参考。