Hilbert空间中非线性泛函的极小值与临界值条件

"这篇文章是1990年11月发表在《数学研究与评论》期刊的第10卷第4期，作者是孙经先，来自山东大学数学系。文章探讨了非线性泛函分析中的一个问题，特别是关于在没有内点或在边界上达到极小值的情况。研究背景是在Banach空间和希尔伯特空间中的凸闭集D，以及函数f(x)的结构，f(x) = 2 ||x||^2 - g(x)，其中g(x)是相关的泛函。" 在非线性泛函分析领域，变分学中的一个基础定理（定理A）指出，如果在Banach空间E的有内点的子集D中，函数f在内部点Xo处取得极小值，并且在Xo处有界线性的Gâteaux导数，那么f'(Xo)必须为零，也就是说Xo是f的临界点。然而，如果D没有内点或f在D的边界点达到极小值，这个结论不再成立。因此，文章旨在解决这个问题，即在这些特殊情况下，需要附加何种条件来确保极小值是临界值。 当D是希尔伯特空间H中的一个凸闭集，文章提供了当f在D上的极小值点Xo处有有界线性的Gâteaux导数时，该极小值是临界值的充分必要条件。具体来说，这个条件是g'(Xo)属于x相对于D的内向集lo(xo)。内向集lo(xo)由所有形如(1-λ)x + λy的点组成，其中y属于D，λ大于0。定理1阐述了这个条件的等价性。 文章进一步的应用是证明了与梯度算子相关的不动点定理，并讨论了当f在D上未达到最小值时，inff(x)与f(x)的渐近临界值之间的关系。作者强调，即使不假设D是有界的，也不要求D有内点，也能进行这样的分析。 通过反证法，作者证明了定理1的充分性，即如果f在Xo处达到极小值且g'(Xo)属于lo(xo)，那么f'(Xo)必须为零，从而Xo是临界点。这扩展了变分理论中的经典结果，对于理解和处理在特殊条件下的非线性优化问题具有重要意义。