扩展F展开法求解三阶非线性波动方程

"寇俊卿、秦青、李保安在2005年2月的《河南科技大学学报（自然科学版）》第26卷第1期中发表了一篇论文，该论文探讨了非线性发展方程的精确解，主要关注一类三阶非线性波动方程。他们扩展了最近提出的F展开法，通过在F展开式中加入F的负幂项来求解此类方程的孤立波解和周期波解。这种方法对于处理奇阶和偶阶导数共存的非线性数学物理问题具有广泛适用性。" 本文的研究主要围绕非线性发展方程的精确解展开，特别是针对一类三阶非线性波动方程。作者首先介绍了背景，指出寻找非线性发展方程的精确解，如孤立波解和周期波解，在理论研究和实际应用中都具有重要意义。他们关注的方程是： \[ \frac{\partial^3 u}{\partial t^3} - au\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \] 其中 \( a \) 是一个实常数，且 \( 0 < a < 1 \)。这个方程用于模拟松弛介质中的声波传播和非线性粘弹性杆中的波传播。 为了求解这个方程，作者扩展了F展开法。通常的F展开法是将解表示为Riccati方程的解F的幂级数，而在这里，他们进一步引入了F的负幂项。Riccati方程为： \[ F = P + F^2 \] 其中 \( P \) 是常数。通过将解 \( u(x,t) \) 表示为F的幂级数，并代入到原方程中，然后利用Riccati方程进行化简，可以将原方程转换为关于F的多项式。通过设置这些多项式系数为零，可以得到一系列的常微分方程，进而求得F以及 \( u(x,t) \) 的精确解。 这种方法的优势在于其普适性，能够处理包含奇阶和偶阶导数的非线性方程。文中提到，它丰富了之前文献中对于所考虑方程的研究结果。虽然具体内容未完全提供，但可以推断，作者通过这种方法成功地得到了方程(1)的孤立波解和周期波解，这对于理解和分析非线性波动现象具有实际价值。 这篇论文展示了如何通过改进F展开法来解决非线性波动方程，提供了求解这类问题的新途径，对于非线性偏微分方程的研究和应用领域有着积极的贡献。