低模态下弱阻尼KdV方程的约化数值分析与非线性谱的对比

本文主要探讨了低模态下弱阻尼Korteweg-de Vries (KdV) 方程的数值分析，这是一种在非线性科学中广泛研究的无穷维动力系统。KdV方程在物理学中常用于描述浅水波的传播，而在本文中，它被考虑在具有周期边界条件的条件下，即方程（1）中的ut + uxxxx - ηuxx + γu + uux = f。这种方程带有一定的阻尼（η > 0，γ > 0），并且初始条件为u(x, 0) = u0(x)属于H²(2π)，而外部激励f属于H³(2π)。 文章首先回顾了非线性动力系统的研究背景，其中Temam等人关于耗散偏微分方程中吸引子和惯性流形的理论是一个重要的研究方向。然而，由于弱阻尼KdV方程的算子特性，即非扇形和非自共轭，研究其惯性流形存在一定的挑战。尽管如此，文献[4]已经证明了这类方程的近似惯性流形的存在。 本文的主要贡献在于在前人工作基础上，对低模态下的弱阻尼KdV方程的近似惯性流形进行了更为具体的分析，并给出了一个简化的约化形式。通过数值分析，该研究在五模态下进行，结果与非线性谱分析得出的结论相似。数值模拟的结果验证了理论分析的有效性，并与文献[5]的研究结果保持一致性。 此外，文章还提到了支持该研究的基金项目，包括国家自然科学基金和江苏省青年科技基金等，这表明了研究者们对于这类问题的关注和投入。 总结来说，这篇论文的核心内容集中在利用近似惯性流形的方法来理解弱阻尼KdV方程的长期动力学行为，通过数值分析验证了理论预测，并为非线性动力系统特别是无穷维动力系统的时空复杂性研究提供了新的见解。