网络流算法详解：结点高度与最大流问题

"这篇资源主要介绍了网络流算法及其分析，特别是关注了节点高度的变化规则。在进行重标号操作后，节点的高度标号会有所增加，确保了算法的正确性。" 网络流算法是一种用于解决在给定网络中确定最大可行流量的问题。网络通常由一组节点（或顶点）和连接这些节点的边（或弧）组成，其中每个边都有一个容量限制。网络的两个特定节点——源点（s）和汇点（t）——分别代表流量的起点和终点。 网络流算法必须遵循三个基本性质： 1. 容量限制：每条边上的流量不能超过其容量，即 f[u,v] ≤ c[u,v]。 2. 反对称性：流量的反向边流量为负，即 f[u,v] = -f[v,u]。 3. 流量平衡：对于除源点和汇点外的任何节点，流入的流量总和等于流出的流量总和。 最大流问题是在满足上述性质的前提下，寻找从源点到汇点的最大可能流量。为了方便算法的处理，我们引入了残量网络的概念。残量网络是原网络的修改版本，其中每条边的残量 r(u,v) 定义为原边的容量 c(u,v) 减去已经使用的流量 f(u,v)。这意味着残量网络指示了每条边还能传输多少额外流量。 举例来说，一个简单的网络由四个节点 s, v1, v2 和 t 组成，其中 s 是源点，t 是汇点。通过观察残量网络，我们可以发现： - 从 s 到 v2 的边还有 2 单位的流量可用。 - 从 v1 到 t 的边还有 2 单位的流量可用。 网络流算法通常包括多个迭代步骤，如 Ford-Fulkerson 方法，它利用增广路径来逐步增加流量直到无法进一步增加为止。在每一步中，重标号操作可能会调整节点的高度标号，以确保算法的进度。在这个过程中，节点的高度标号永远不会下降，这是算法正确性的关键保证。 总结来说，网络流算法涉及在给定网络结构中找到最大流量的路径，而重标号操作是算法中确保节点高度不降的重要机制。通过残量网络，我们可以直观地看到网络中尚未利用的流量潜力，这有助于优化算法的执行并最终找出最大流。