图论算法：流量有上下界的网络存在性问题与网络流

"该资源是一本关于图论算法的书籍，详细介绍了图论的基本概念、图的存储方式、图的遍历、最短路径、网络流等问题，特别强调了算法的实现和应用，适合计算机及相关专业学生和ACM/ICPC竞赛的训练。" 在图论中，网络流问题是一个重要的研究领域，它涉及到如何在一个有向图中分配流量，使得流量从源节点到汇节点的传输满足一定的条件。在《流量有上下界的网络不存在可行流的例子》中，讨论了一个关键点：即使网络中的每条弧都有流量的上限和下限，也不一定能找到一个满足条件的流量分配，即可行流。 图6.31展示了一个具体的例子，其中容量网络的每个弧(u, v)有两个权值，b(u, v)表示弧的流量下界，c(u, v)表示流量的上界。如果存在这样的情况，即某个节点的流出流量大于其流入流量，或者一条弧的下界之和大于另一条或多条弧的上界之和，那么网络中就不可能存在可行流。在这个例子中，弧<Vs, V2>的流量上限不足以支撑弧<V2, V1>和<V2, Vt>的流量下界之和，因此不存在可行流。 定义一个网络流是可行为： 1) **弧流量限制条件**：每条弧<u, v>的流量f(u, v)必须在下界b(u, v)和上界c(u, v)之间，即b(u, v) ≤ f(u, v) ≤ c(u, v)。这确保了流量不会超过弧的承载能力，也不会为负。 2) **平衡条件**：对于网络中的每个非源非汇节点v，其所有入边流量之和等于所有出边流量之和，即∑f(u, v) = ∑f(v, w)。这意味着在网络中，流量在各节点间保持平衡，没有流量的积累或消失。 解决网络流问题的首要任务是判断网络是否存在可行流。一旦确定存在可行流，接下来的目标通常是找到最大流，即在满足上述条件的情况下，从源节点到汇节点能传递的最大流量。 本书《图论算法理论、实现及应用》详细阐述了这些概念，并通过实际的ACM/ICPC竞赛题目来说明图论算法的运用。内容包括邻接矩阵和邻接表等图的存储结构，以及图的遍历、树与生成树、最短路径、点集问题、网络流、图的连通性和平面图着色等主题。这本书不仅适用于高校的图论课程，也是准备图论竞赛的宝贵资源。 通过学习图论算法，我们可以更好地理解和解决现实世界中的各种问题，如交通网络规划、通信网络设计、资源分配等，这些都是图论模型在现实生活中的实际应用。图论的发展始于欧拉的七桥问题，至今已发展成为一个涵盖众多子领域的强大工具，对于理解和解决复杂网络问题至关重要。