数值积分实验：病态问题与线性方程组求解

"该实验主要涉及数值分析中的病态问题、线性方程组求解以及函数的数值逼近方法。通过编程解决一个高阶多多项式方程，并观察解随扰动量变化的情况，以理解这些概念的实际应用和影响。" 在数值分析中，"病态问题"指的是那些对输入数据非常敏感的问题，即使微小的数据变化也可能导致计算结果的巨大差异。在本实验中，通过对高阶多多项式方程进行扰动，学生们可以直观地看到病态问题的表现。例如，当扰动量（即方程的系数）发生微小变化时，方程的根（即解）可能会显著改变，这正是病态问题的一个典型特征。 "线性方程组求解"是数学和工程领域中常见的问题。在实验中，使用MATLAB的`roots`函数来求解多项式方程的根，这是一种数值方法。`roots`函数基于数值线性代数的方法，如高斯消元法或迭代法，来找到方程的近似解。学生们通过编程改变扰动量，观察解的变化，可以深入理解线性方程组求解的稳定性。 "函数的数值逼近方法"是指使用有限的离散数据来近似连续函数的过程。在实验中，绘制不同扰动量下的根的图形，实际上是在展示数值方法如何逼近函数的真实行为。通过比较不同扰动条件下的解，可以学习到数值方法的误差控制和收敛性。 MATLAB代码段展示了如何实现这个实验。`inputdlg`函数用于获取用户输入的扰动项和扰动常数，然后通过`poly`函数生成多项式的系数向量，`roots`函数用于计算根，最后用`plot`函数绘制根随扰动量变化的图形。这种可视化方式有助于理解数值方法在处理病态问题时的行为。 实验中，通过对比不同扰动条件下的根，学生能够观察到数值解的稳定性和敏感性，从而对病态问题、线性方程组求解以及数值逼近方法有更深入的认识。这种实践性的学习方法有助于提高学生对理论知识的理解和应用能力。