并行预处理共轭梯度法解非对称块三对角线性方程组：理论与实践

本文主要探讨了解非对称块三对角线性方程组的并行算法，针对的是在2011年由曹芳芳和吕全义在《西北工业大学学报》发表的研究成果。他们提出了一种改进的并行求解策略，这种方法是基于传统的预处理共轭梯度法（PCG），其关键在于对预条件子的重构，使其更适应并行计算环境。 在传统PCG方法中，预条件子M通常由矩阵A的对角部分D加上下三角部分L组成，形式为M = D + L。然而，作者们注意到，对于块三对角矩阵A，下三角部分L可以进一步分解为块下三角结构，这为并行处理提供了可能。他们通过构造一个新的矩阵Z，将原下三角部分L进行改造，这样M就变成了D + L，使得计算过程仅需相邻机器之间的有限次通信，降低了通信复杂度，有利于高效并行求解。 文章深入讨论了这种并行算法的收敛性，并提供了一个充分条件，表明该算法的收敛性优于标准的Gauss-Seidel预处理共轭梯度法。这表明，即使在系数矩阵条件数较大的情况下，他们的方法也能保持较好的性能。 为了验证理论上的推导，作者们在HP rx2600集群上进行了实际的数值试验。实验结果表明，该并行算法的性能与理论预测相一致，显示出良好的并行性以及显著减少的迭代次数。这证明了该算法在实际应用中的有效性。 总结来说，本文的核心贡献在于提出了一种高效并行求解非对称块三对角线性方程组的策略，通过优化预条件子的设计，提高了并行计算的性能，这对于解决大规模数值问题具有重要的实际意义。同时，理论分析和实验结果的匹配也增强了这种方法的可信度。