高等代数矩阵习题解答与矩阵性质解析

"高等代数--矩阵练习题参考答案借鉴.pdf" 这篇内容主要涉及高等代数中的矩阵理论，包括了判断题和选择题的解答，主要涵盖了矩阵的性质、运算规则以及特殊类型的矩阵。 1. 矩阵乘法不满足结合律。这表明对于任意的n阶矩阵A和B，A(BA)不一定等于(AB)A。举例来说，如果A = [[2, 1], [0, 1]]，B = [[1, 2], [3, 4]]，那么(AB)A ≠ A(BA)。 2. 矩阵乘法不满足零因子性质。即使A的某个子矩阵是零矩阵，A的乘积不一定是零矩阵。例如，A = [[2, 1], [0, 1]]，B = [[0, 1], [1, 0]]，虽然A的第二列是零向量，但AB不等于零矩阵。 3. 如果A的平方等于单位矩阵E，那么A是可逆矩阵。这是因为A^2 = E意味着存在矩阵A的逆，即A^-1 = A。 4. 如果AB=0，那么A和B的秩之和小于2n。这意味着AB=0并不意味着A或B中有一个是零矩阵，而是它们的秩之和不超过n。 5. 矩阵乘法不满足交换律。即使C、B和A都是方阵，且AC=AB，也不能得出C=B。例如，可以找到特定的矩阵A、B和C使得这个等式成立，但B≠C。 6. 可以通过行变换将矩阵A转化为等价的标准型，即存在可逆矩阵P和Q使得PAQ=0_n s I_r，其中s是零矩阵，I_r是r阶单位矩阵。这说明矩阵A可以被分解为行秩r的矩阵和零矩阵。 7. 矩阵A可逆，则它的转置A*也可逆，并且(A*)^-1 = (A^-1)*。这是由于|A|≠0，所以|A*| = |A|^T≠0，因此A*也是可逆的。 8. 若A和B是可逆矩阵，则(AB)^* = B^* A^*。这是矩阵乘法的共轭转置性质，可以通过展开(AB)^*并利用共轭转置的性质证明。 选择题部分： 1. 对称矩阵A和反对称矩阵B的乘积AB-BA是反对称矩阵。而AB+BA是反对称矩阵只有在AB可交换时。2A是对称矩阵，而A^T是A的转置，也是对称矩阵。 2. 一个矩阵的转置与其自身的乘积A^TA是对称矩阵。这是因为(A^TA)^T = (A^T)^T A^T = A A^T。 这些题目和解答涵盖了矩阵的基本性质、运算规则以及特殊矩阵的性质，对于理解和掌握高等代数中的矩阵理论至关重要。