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3. 稳定性分析
已知状态观测器方程(10), 假设观测器增益系数 LL 已知, 证明误差动态系统方程(11)
是渐近稳定的.
为此本文提出了一种基于线性矩阵不等式(Linear matrix inequality, LMI)的 Lyapunov
泛函
[19-22]
, 用来证明方程(11)的稳定性.
V(t,ee)=[ee(t)−Gee(t−d)]TP[ee(t)−Gee(t−d)]+∫tt−deeT(ρ)Qee(ρ)dρ+∫tt−deeT(ρ)Ree(ρ)dρV(t,ee)=[ee(t)−Gee(t−d)]TP[ee(t)−Gee(t−d)]+∫t−dteeT(ρ)Qee(ρ)dρ+∫t−dteeT(ρ)Ree(ρ)dρ
其中, P,Q,RP,Q,R 为正定对称矩阵.
令 ηη1=ee(t),ηη2=ηη3=ee(t−d)ηη1=ee(t),ηη2=ηη3=ee(t−d), 则表达式为
V(t,ee)=(ηη1−Gηη2)TP(ηη1−Gηη2)+∫tt−deeT(ρ)Qee(ρ)dρ+∫tt−deeT(ρ)Ree(ρ)dρV(t,ee)=(ηη1−Gηη2)TP(ηη1−Gηη2)+∫t−dteeT(ρ)Qee(ρ)dρ+∫t−dteeT(ρ)Ree(ρ)dρ
对式(15)求导, 得
V˙(t,ee)=2(ηη1−Gηη2)TP(ηη1˙−Gηη2˙)+ηηT1Qηη1−ηηT2Qηη2+ηηT1Rηη1−ηηT3Rηη3V˙(t,ee)=2(ηη1−Gηη2)TP(ηη1˙−Gηη2˙)+ηη1TQηη1−ηη2TQηη2+ηη1TRηη1−ηη3TRηη3
由中立型系统方程式(9), 式(16)可以表达为
V˙(t,ee)=2(ηη1−Gηη2)TP(Hηη1−Cηη2)+ηηT1(Q+R)ηη1−ηηT2Qηη2−ηηT3Rηη3V˙(t,ee)=2(ηη1−Gηη2)TP(Hηη1−Cηη2)+ηη1T(Q+R)ηη1−ηη2TQηη2−ηη3TRηη3
V˙(t,ee)=2ηηT1PHηη1+2ηηT1PCηη3−2ηηT2GTPHηη1−2ηηT2GTPCηη3+ηηT1(Q+R)ηη1−ηηT2Qηη2−ηηT3Rηη3=ηηT1(PH+HTP+Q+R)ηη1+2ηηT1PCηη3−2ηηT2GTPHηη1−2ηηT2GTPCηη3−ηηT2Qηη2−ηηT3Rηη3V˙(t,ee)=2ηη1TPHηη1+2ηη1TPCηη3−2ηη2TGTPHηη1−2ηη2TGTPCηη3+ηη1T(Q+R)ηη1−ηη2TQηη2−ηη3TRηη3=ηη1T(PH+HTP+Q+R)ηη1+2ηη1TP
Cηη3−2ηη2TGTPHηη1−2ηη2TGTPCηη3−ηη2TQηη2−ηη3TRηη3
将式(18)等价为线性矩阵不等式的形式为式(19).其中
ηη(t)=[ee(t)ee(t−d)ee(t−d)]ηη(t)=[ee(t)ee(t−d)ee(t−d)], H=A−LDH=A−LD.令 K=PLK=PL 则
式(19)表达为式(20).
若线性矩阵不等式(13)有解, 即存在正定阵 P,Q,RP,Q,R 和矩阵 KK, 得
V˙(t,ee)<0V˙(t,ee)<0 由 Razumikhin 型定理
[20]
得误差动态系统方程(11)渐近稳定.
V˙(t,ee)=ηηT(t)×⎡⎣⎢PH+HTP+Q+R−GTPHCTP−HTPG−Q−CTPGPC−GTPC−R⎤⎦⎥ηη(t)V˙(t,ee)=ηηT(t)×[PH+HTP+Q+R−HTPGPC−GTPH−Q−GTPCCTP−CTPG−R]ηη(t)
V˙(t,ee)=ηηT(t)×⎡⎣⎢2PA−2KD+Q+RGTKD−GTPACTPDTKTG−ATPG−QCTPGPCGTPC−R⎤⎦⎥ηη(t)V˙(t,ee)=ηηT(t)×[2PA−2KD+Q+RDTKTG−ATPGPCGTKD−GTPA−QGTPCCTPCTPG−R]ηη(t)