Floyd算法详解：图中所有最短路径的求解

弗洛伊德算法（Floyd Algorithm），又称弗洛伊德-沃什曼算法，是一种用于解决图中所有对之间最短路径问题的动态规划方法。在给定一个加权图，其中每个边都有一个权重，算法的目标是找到图中任意两个顶点之间的最短路径。其核心思想是通过迭代更新每个节点到图中其他所有节点的最短路径，每次迭代时检查是否有经过中间节点的更短路径。 算法的工作流程如下： 1. **初始化**：使用图的权重矩阵 `Map` 初始化最短路径矩阵 `Dist`，将初始距离设为边的权重，对于没有直接连接的顶点，距离设为无穷大（通常用较大的数如 `Maxm` 表示）。 2. **迭代过程**： - 对于每一轮迭代，对于图中的每一对顶点 `(i, j)`，检查是否存在中间顶点 `k` 使得 `Dist[i][k] + Dist[k][j]` 比当前的 `Dist[i][j]` 更小。如果是，则更新 `Dist[i][j]` 的值为这个较小的路径长度。 - 这个过程重复进行 `|V| * (|V|-1)/2` 次，其中 `|V|` 是图中顶点的数量，确保覆盖所有可能的对。 3. **路径跟踪**：在计算出最短路径后，如果存在多个相同长度的最短路径，可以使用 `Path` 数组记录最短路径，以便于后续的路径重建。 4. **优化**：由于每次迭代都检查了所有可能的中间节点，所以时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是顶点数量。尽管如此，Floyd 算法的优势在于它一次就能处理所有对，对于稠密图（即边的数量接近于完全图）来说，相比于 Dijkstra 算法等单独求解每一对的算法，它更有效率。 在实际编程中，如给出的代码片段所示，会读取输入文件来构建图的结构，然后调用 `Root` 函数来进行深度优先搜索（DFS）来跟踪最短路径，并使用 `main` 函数初始化变量、读取数据和输出结果。 Floyd 算法适用于解决 All Pairs Shortest Paths（APSP）问题，当需要找到图中所有顶点对之间的最短路径时，这是一种不可或缺的算法工具。然而，对于稀疏图（边的数量远小于顶点数量的平方），Dijkstra 或 Bellman-Ford 算法可能是更好的选择，因为它们的时间复杂度更低。