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1 矩阵基础 4
定一组基,得到一个矩阵描述它,换一组基,得到不同矩阵描述它,矩阵只是描
述线性变换非线性变换本身,类比给一个人选取不同角度拍照。
4. 前面都是说矩阵描述线性变换,然而,矩阵不仅可以用来描述线性变换,更可以
用来描述基(坐标系/角度),前者好理解,无非是通过变换的矩阵把线性空间中
的一个点给变换到另一个点上去,但你说矩阵用来描述基 (把一个坐标系变换到
另一个坐标系),这可又是何意呢?实际上,变换点与变换坐标系,异曲同工!
@ 坎儿井围脖:矩阵还可以用来描述微分和积分变换。关键看基代表什么,用坐
标基就是坐标变换。如果基是小波基或傅里叶基,就可以用来描述小波变换或傅
里叶变换
5. 矩阵是线性运动(变换)的描述,矩阵与向量相乘则是实施运动(变换)的过程,
同一个变换在不同的坐标系下表现为不同的矩阵,但本质/特征值相同,运动是相
对的,对象的变换等价于坐标系的变换,如点 (1, 1) 变到 (2, 3),一者可以让坐标
点移动,二者可以让 X 轴单位度量长度变成原来 1/2,让 Y 轴单位度量长度变成
原来 1/3,前后两者都可以达到目的。
6. Ma = b,坐标点移动则是向量 a 经过矩阵 M 所描述的变换,变成了向量 b;变
坐标系则是有一个向量,它在坐标系 M 的度量下结果为 a,在坐标系 I(I 为单
位矩阵,主对角为 1,其它为 0)的度量下结果为 b,本质上点运动与变换坐标系
两者等价。为何?如 (5) 所述,同一个变换,不同坐标系下表现不同矩阵,但本
质相同。
7. Ib,I 在 (6) 中说为单位坐标系,其实就是我们常说的直角坐标系,如 Ma = Ib,
在 M 坐标系里是向量 a,在 I 坐标系里是向量 b,本质上就是同一个向量,故此
谓矩阵乘法计算无异于身份识别。且慢,什么是向量?放在坐标系中度量,后把
度量的结果(向量在各个坐标轴上投影值)按顺序排列在一起,即成向量。
8. b 在 I 坐标系中则是 Ib,a 在 M 坐标系中则是 M a,故而矩阵乘法 M × N,
不过是 N 在 M 坐标系中度量得到 M N,而 M 本身在 I 坐标系中度量出。故
Ma = Ib,M 坐标系中的 a 转过来在 I 坐标系中一量,却成了 b。如向量 (x, y)
在单位长度均为 1 的直角坐标系中一量,是 (1, 1),而在 X 轴单位长度为 2;Y
轴单位长度为 3 的量则是 (2, 3)。
9. 何谓逆矩阵? Ma = Ib,之前已明了坐标点变换 a → b 等价于坐标系变换 M → I,
但具体 M 如何变为 I 呢,答曰:让 M 乘以 M 的逆矩阵。以坐标系:
2 0
0 3