一维Sobolev方程的Fourier拟谱长期稳定性与收敛性研究

本文主要探讨了一维Sobolev方程在长时间稳定性与收敛性方面的理论研究，针对的是具有高阶时间导数的拟抛物型方程，如Sobolev方程。作者冯立新从黑龙江大学数学系、吉林大学数学研究所和北京大学数学科学学院的角度出发，针对该类方程的一般形式(1.1)，其中系数a和c满足周期性和正界的条件，而β、α、γ和h则可能随空间x和时间t变化。 论文首先定义了一个双线性型A，它与H1(0,2π)中的标准内积等价，这是理解方程基本结构的关键。对于Sobolev方程这类特殊的拟抛物型方程，例如著名的BBM方程(1.2)，其特点是包含了非线性项和二阶空间导数，这使得它在物理、工程等领域有着广泛的应用。 以往的研究，如文献[1-3]，主要采用有限元、有限差分和谱方法对这类方程进行了有限时间内的数值解算。然而，对于长时间的稳定性及收敛性问题，文献[4]首次利用Fourier谱方法进行了深入分析。冯立新在此基础上，进一步发展了Fourier拟谱方法，对一维Sobolev方程的长期行为进行了更细致的探讨。 文中核心部分着重于构建了方程的半离散和全离散拟谱逼近，并在此基础上获得了关于时间区间0≤t<∞上的一致最优阶误差估计。这表明作者不仅关注了数值解的精度，还重视了长时间范围内的稳定性分析，这对于实际应用中的数值模拟和稳定性预测至关重要。 关键词：Sobolev方程，Fourier拟谱方法，长时间稳定性，收敛性，以及H1空间内的内积和范数定义，共同构成了这篇论文的核心内容。冯立新的工作对于理解和解决此类高阶偏微分方程在无限时间段内的行为提供了重要的理论支持。