马氏距离详解与MATLAB实现示例

马氏距离(Mahalanobis Distance)是一种在多维空间中衡量两点间差异的统计方法，尤其在高维数据分析和机器学习中广泛应用。它考虑了样本数据的协方差结构，相比于欧氏距离，更能反映出各维度之间变量的相关性。马氏距离的定义基于两点x和y的协方差矩阵C，计算公式为： 设x和y是p维空间中的向量，x'和y'分别表示它们的转置，μ是期望值或均值向量，C是协方差矩阵，那么马氏距离D可以表示为： \[ D(x, y) = \sqrt{(x - \mu)' C^{-1} (x - \mu)} \] 其中，\( C^{-1} \) 表示协方差矩阵C的逆，\( x - \mu \) 是x相对于μ的偏差。如果C是单位矩阵，马氏距离就简化为欧氏距离，但当C不是单位矩阵时，距离的各个分量会根据C的特征进行调整，权重较大的分量对距离的影响更大。 马氏距离具有以下特点： 1. **适应性**：考虑了数据的协方差结构，对于数据分布不均匀或存在相关性的场景更适用。 2. **有效性**：对于正态分布的数据，马氏距离与直觉相符，能更好地反映数据的多维距离。 3. **尺度不变性**：不受原始数据尺度的影响，对标准化或归一化后的数据表现一致。 在实际应用中，MATLAB提供了内置函数`mahalanobis`来计算马氏距离。这个函数接收三个参数：样本矩阵X、均值向量Mu以及协方差矩阵C。如果省略C，则默认使用单位矩阵。如果X或Mu是行向量，函数会返回一个由所有对应元素组成的矩阵，每一项表示X中一行和Mu中一行的马氏距离。如果Mu只是一个标量，那么它被视为原点，计算的是X相对于该点的马氏距离。 以下是一个简单的MATLAB实现代码片段： ```matlab function d = mahalanobis(X, Mu, C) % 如果C未提供，假设为单位矩阵 if nargin < 3 C = eye(size(X, 2)); % 矩阵C为单位矩阵 end % 检查输入矩阵的性质 if ~issymmetric(C) || any(eig(C) <= 0) error('C must be a positive definite, symmetric matrix.'); end % 计算马氏距离 d = sqrt((X - Mu)' * inv(C) * (X - Mu)); end ``` 这个函数首先检查协方差矩阵是否符合要求，然后通过矩阵运算计算出马氏距离。使用这个函数时，只需调用`d = mahalanobis(X, Mu, C)`即可得到所需的距离矩阵。在实际项目中，这可以帮助我们有效地进行异常检测、聚类分析或者在分类任务中度量样本间的相似性。