马氏距离详解与MATLAB实现示例
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马氏距离(Mahalanobis Distance)是一种在多维空间中衡量两点间差异的统计方法,尤其在高维数据分析和机器学习中广泛应用。它考虑了样本数据的协方差结构,相比于欧氏距离,更能反映出各维度之间变量的相关性。马氏距离的定义基于两点x和y的协方差矩阵C,计算公式为:
设x和y是p维空间中的向量,x'和y'分别表示它们的转置,μ是期望值或均值向量,C是协方差矩阵,那么马氏距离D可以表示为:
\[ D(x, y) = \sqrt{(x - \mu)' C^{-1} (x - \mu)} \]
其中,\( C^{-1} \) 表示协方差矩阵C的逆,\( x - \mu \) 是x相对于μ的偏差。如果C是单位矩阵,马氏距离就简化为欧氏距离,但当C不是单位矩阵时,距离的各个分量会根据C的特征进行调整,权重较大的分量对距离的影响更大。
马氏距离具有以下特点:
1. **适应性**:考虑了数据的协方差结构,对于数据分布不均匀或存在相关性的场景更适用。
2. **有效性**:对于正态分布的数据,马氏距离与直觉相符,能更好地反映数据的多维距离。
3. **尺度不变性**:不受原始数据尺度的影响,对标准化或归一化后的数据表现一致。
在实际应用中,MATLAB提供了内置函数`mahalanobis`来计算马氏距离。这个函数接收三个参数:样本矩阵X、均值向量Mu以及协方差矩阵C。如果省略C,则默认使用单位矩阵。如果X或Mu是行向量,函数会返回一个由所有对应元素组成的矩阵,每一项表示X中一行和Mu中一行的马氏距离。如果Mu只是一个标量,那么它被视为原点,计算的是X相对于该点的马氏距离。
以下是一个简单的MATLAB实现代码片段:
```matlab
function d = mahalanobis(X, Mu, C)
% 如果C未提供,假设为单位矩阵
if nargin < 3
C = eye(size(X, 2)); % 矩阵C为单位矩阵
end
% 检查输入矩阵的性质
if ~issymmetric(C) || any(eig(C) <= 0)
error('C must be a positive definite, symmetric matrix.');
end
% 计算马氏距离
d = sqrt((X - Mu)' * inv(C) * (X - Mu));
end
```
这个函数首先检查协方差矩阵是否符合要求,然后通过矩阵运算计算出马氏距离。使用这个函数时,只需调用`d = mahalanobis(X, Mu, C)`即可得到所需的距离矩阵。在实际项目中,这可以帮助我们有效地进行异常检测、聚类分析或者在分类任务中度量样本间的相似性。
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