MATLAB有限元分析：悬臂梁问题解决步骤与单元刚度矩阵

"该资源是关于使用MATLAB进行有限元分析的一个练习题，涉及悬臂梁问题。题目描述了一个受到1N/m^2均布载荷的悬臂梁，要求求解结构的整体刚度矩阵、位移、应变以及应力，并绘制变形图。解答过程分为网格划分、单元分析、单元组装、边界条件处理、应变和应力计算以及结果可视化等步骤。" 在有限元分析中，MATLAB是一种常用的工具，它提供了强大的数值计算能力，包括线性代数、优化、插值和积分等功能，非常适合解决这类问题。以下是详细的知识点解释： 1. **网格划分**：这是有限元分析的第一步，将连续的物理区域划分为多个离散的单元。在这个例子中，悬臂梁被划分为四个三角形单元，每个单元的节点用编号表示，例如`node=[00;01;10;11;20;21]`。 2. **单元分析**：对每个单元进行独立的分析，计算单元刚度矩阵。对于泊松比为0的材料，如这里的假设，单元刚度矩阵可以通过旋转已知单元的刚度矩阵得到。给定的MATLAB函数`Element_stiff_tri2D`用于计算二维三角形单元的刚度矩阵，利用形状函数和单元属性（如面积、厚度）来完成计算。 3. **单元组装**：将所有单元的刚度矩阵组合成整体刚度矩阵。这个过程涉及到识别每个单元与全局坐标系的关系，并将局部刚度矩阵插入到正确的位置。MATLAB中的`Plain_stiff`函数可能就是用于实现这个操作的，通过循环迭代和索引映射来组装整体刚度矩阵。 4. **边界条件处理**：在悬臂梁问题中，自由端通常有零位移边界条件。这些条件需要被应用到整体刚度矩阵和载荷向量中，以求解结构的未知位移。这通常涉及修改刚度矩阵和载荷向量的部分元素。 5. **求解系统**：一旦整体刚度矩阵（K）和载荷向量（F）准备就绪，就可以使用MATLAB的线性代数函数，如`solve`或`inv`，来求解线性方程组`K*u=F`，其中`u`是位移向量。 6. **应变和应力计算**：位移求得后，可以通过应变-displacement关系和胡克定律计算应变，再进一步计算应力。对于二维问题，应变通常包括正应变（沿x方向）和剪切应变（xy方向），应力则包括正应力和剪切应力。 7. **结果可视化**：最后，利用MATLAB的绘图功能，如`plot`或`surf`，可以展示梁的变形情况，即应变或位移场，也可以画出应力分布图。 这个练习题涵盖了有限元方法的基本流程，对于理解和掌握MATLAB在有限元分析中的应用非常有帮助。实际操作时，还需要注意正确设置材料属性，如弹性模量和泊松比，以及正确处理边界条件，确保结果的准确性。