第 3 章
向量空间与子空间
3.1 向量空间
1 n 维标准空间 R
n
包含所有带 n 个分量的实列向量。
2 若 v 和 w 都在向量空间 S 中,那么每个组合 cv + dw 一定在 S 中。
3 S 中的“向量”可以是矩阵或关于 x 的函数。单点空间 Z 由 x = 0 组成。
4 R
n
的子空间是在 R
n
内的向量空间。例:直线 y = 3x 在 R
2
内。
5 A 的列空间包含 A 列的所有组合:R
m
的一个子空间。
6 列空间包含所有向量 Ax。因此当 b 在 C(A) 中时,Ax = b 是可解的。
对于初学者来说,矩阵计算涉及许多数。对于你来说,它们涉及向量。Ax 与 AB 的列都是 n 个
向量(A 的列)的线性组合。本章从数字和向量转到第三层次的理解(最高层次)。我们着眼于向量的
“空间”而不是单独的列。若看不出向量空间尤其是它们的子空间的话,你就无法理解关于 Ax = b 的
一切。
由于本章有点深,看起来似乎有点难。这是正常的。我们正观察计算的内部,以找出当中的数学。
作者的职责是使它变得清晰。本章以“线性代数基本定理”结束。
我们从最重要的向量空间开始。它们由 R
1
,R
2
,R
3
,R
4
,. . . 来表示。每个空间 R
n
由一整个向
量集组成。R
5
囊括所有带 5 个分量的列向量。这就是所谓的“5 维空间”。
定义 空间 R
n
由所有带 n 个分量的列向量 v 组成。
v 的分量都是实数,这就是用字母 R 的原因。一个带 n 个复数分量的向量位于空间 C
n
中。
向量空间 R
2
由通常的 xy 平面表示。R
2
中的每个向量 v 都具有两个分量。“空间”一词要求我们要考
虑所有这些向量——整个平面。每个向量给出平面中一点的 x 与 y 坐标:v = (x, y)。
类似地,R
3
中的向量对应三维空间中的点 ( x, y, z)。一维空间 R
1
是一条直线(像 x 轴)。和以前
一样,我们用印刷体将向量写成方括号间的一列,或沿一行用逗号和括号写出:
[
4
π
]
处于 R
2
中,(1, 1, 0, 1, 1) 处于 R
5
中,
[
1 + i
1 − i
]
处于 C
2
中。
线性代数的伟大之处在于它能轻松处理 5 维空间。我们不画出向量来,我们只用到 5 个数(或 n 个数)。
要将 v 乘以,就将每个分量乘以 7。这里的 7 是一个“标量”。为在 R
5
中将向量相加,就依次将
分量相加。两个基本向量运算发生在向量空间内部,且它们产生线性组合:
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