线性回归详解：从基础到岭回归与Lasso

"这篇文档详细介绍了线性回归的基本原理，包括如何使用最小二乘法解决多元线性回归问题，以及如何在Python的sklearn库中实现。此外，文档还涉及了回归模型的评估指标和两种拓展方法：岭回归与Lasso回归。" 线性回归是一种预测模型，用于处理连续型变量的预测问题。它起源于统计学，并在机器学习中占据重要地位，因为其简单易用且解释性强。线性回归通过构建直线或超平面来近似因变量与一个或多个自变量之间的关系。在统计学中，线性回归关注先验知识，而在机器学习中，更侧重于模型的效果。 多元线性回归是线性回归的一种扩展，允许模型同时考虑多个自变量的影响。模型形式为： \[ \hat{y} = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n \] 用矩阵表示为： \[ \hat{y} = Xw \] 其中，\( w \) 是权重向量，\( X \) 是包含所有样本特征的矩阵，\( y \) 是目标变量。寻找最佳的权重向量 \( w \) 是线性回归的核心任务。这通常通过最小化损失函数来实现，损失函数衡量模型拟合数据的好坏。对于多元线性回归，常用的损失函数是均方误差（MSE）： \[ \sum_{i=1}^{m}(y_i - \hat{y}_i)^2 \] 最小化损失函数的目标是找到一组权重 \( w \)，使得模型对训练数据的预测误差最小。这可以通过梯度下降、正规方程或在机器学习库如sklearn中提供的优化算法来完成。 评估回归模型的性能通常包括检查模型是否预测到正确的数值，以及模型是否捕获了足够的信息。一些常见的评估指标有均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R^2）。 岭回归是在线性回归基础上引入了正则化，以解决多重共线性问题。当自变量之间高度相关时，会导致模型的系数不稳定性，岭回归通过增加一个L2范数项来缓解这一问题，改进模型的泛化能力。 Lasso回归是另一种正则化方法，它通过添加L1范数（权重绝对值之和）来鼓励模型产生稀疏的权重向量，即某些特征的权重会被压缩至零，从而实现特征选择。 在实际应用中，除了基本的线性回归，还有许多变体和扩展，如弹性网络、回归树、随机森林的回归、支持向量回归和贝叶斯回归等，它们分别针对不同的需求和场景提供解决方案。此外，还有一些鲁棒的回归方法，如RANSAC、Theil-Sen估计和Huber回归，这些方法能更好地应对异常值和噪声的影响。