EM算法解析：极大似然估计与迭代优化

"EM算法简介-机器学习之EM算法" EM算法是期望最大化（Expectation Maximization）算法，它是一种在概率模型中寻找参数极大似然估计的迭代算法，尤其适用于处理含有不可观测隐含变量的数据。EM算法由两步组成：E步（期望步骤）和M步（最大化步骤）。在E步中，算法根据当前估计的参数计算隐含变量的后验概率分布；在M步中，利用这些后验概率更新模型参数，以最大化观察数据的似然性。 一、似然函数与极大似然估计 似然函数是给定一组观测数据时，参数的概率密度函数。在统计学中，极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的参数估计方法。它通过找到使得所有观测数据的联合概率最大化的参数值来进行估计。对于一组独立同分布的样本 \( x_1, x_2, ..., x_n \)，其似然函数 \( L(\theta|x_1, x_2, ..., x_n) \) 是这些样本在参数 \( \theta \) 下的联合概率。极大似然估计的目标是找到参数 \( \theta^* \)，使得似然函数 \( L(\theta) \) 达到最大。 二、Jensen不等式 Jensen不等式是概率论和泛函分析中的一个重要工具，它指出，如果 \( f \) 是一个凸函数，\( X \) 是随机变量，那么 \( E[f(X)] \geq f(E[X]) \)。这里的 \( E \) 表示数学期望。当 \( f \) 是严格凸函数时，不等式是严格的，即只有在 \( X \) 是常量时，等号才成立。这个不等式在EM算法的理论分析中起到关键作用，因为它可以帮助我们理解为何在M步中参数的更新总是增加似然函数的值。 三、EM算法流程 1. 初始化参数 \( \theta^{(0)} \)。 2. E步：计算当前参数下的隐含变量的期望值，即后验概率 \( Q_i = P(z_i|x, \theta^{(t)}) \)，其中 \( z_i \) 是第 \( i \) 个样本的隐含变量。 3. M步：用E步得到的期望值更新参数，最大化 \( Q(\theta|\theta^{(t)}) \) 来得到新的参数 \( \theta^{(t+1)} \)。 4. 重复E步和M步，直到参数收敛或达到预设的迭代次数。 EM算法在实际应用中广泛用于混合高斯模型、隐马尔科夫模型（HMM）、主题模型等领域。其优点在于能够处理含有缺失数据或隐含变量的情况，并且通常能提供稳定且可解释的解。然而，EM算法并不保证找到全局最优解，且可能会陷入局部最优。因此，在实际使用中可能需要多次初始化或结合其他优化策略。