深度学习中的einsum：爱因斯坦求和约定详解

"einsum满足你一切需要：深度学习中的爱因斯坦求和约定 - 知乎1" 本文主要探讨了深度学习中一个非常实用的函数——`einsum`，它是基于爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）的一个功能强大的工具。`einsum`在numpy、TensorFlow以及最近的PyTorch中都有实现，它允许程序员以简洁的语法执行各种张量操作，包括但不限于转置、求和、乘法以及更复杂的张量运算。 1. **einsum记法**： `einsum`函数的核心在于其独特的记法，它通过字符串表示输入张量的索引和输出张量的索引关系，简化了对张量操作的描述。例如，"ij,jk->ik"表示沿着共享的索引（在这种情况下是'j'）进行矩阵乘法，将两个二维张量的第'i'行与第'j'列对应元素相乘，并将结果组合成新的二维张量的第'i'行和第'k'列。 2. **矩阵转置**： 转置操作可以通过指定相应的索引来完成，如"ij->ji"，这会交换输入张量的行和列。 3. **求和**： 在einsum中，重复的索引会被自动求和。例如，"ij,ij->i"表示对每个'i'，将对应的'j'索引元素相加，得到一个新的单索引张量。 4. **列求和**： 如果想对某列求和，可以写成"ij->j"，这将对每一列的所有元素进行求和，结果是一个标量或一维张量。 5. **矩阵-向量相乘**： 使用"ij,j->i"，可以执行矩阵与向量的乘法，其中'i'是矩阵的行索引，'j'是向量的索引，结果是一个新的一维张量，包含了每行元素与向量的乘积之和。 6. **矩阵-矩阵相乘**： "ij,jk->ik"表示矩阵-矩阵乘法，这是einsum最基本的应用之一。 7. **点积**： 对于两个一维向量的点积，可以写成"ij,ji->"，其中'i'是两个向量的共同索引，求和后得到一个标量结果。 8. **哈达玛积（Hadamard Product）**： 哈达玛积是对应元素相乘，表示为"ij,ij->ij"，这将返回一个新张量，其元素是输入张量对应位置的元素相乘。 9. **外积（Outer Product）**： 外积创建了一个由输入向量的每个元素与另一个向量的所有元素相乘的结果，表示为"ij,jk->ijk"，返回一个三维张量，其中'ijk'的每个元素是'i'和'j'的乘积。 使用`einsum`的一大优势是代码的简洁性，它减少了对多种张量操作函数的依赖，提高了代码可读性和效率。此外，由于`einsum`可以被优化以生成高效的底层代码，因此在性能上也有优势。在深度学习框架中，`einsum`是实现高效计算和避免冗余计算的关键工具之一。 通过学习和熟练掌握`einsum`函数，开发者可以编写出更加优雅且高效的深度学习模型，减少因使用多个低级操作函数而引入的潜在错误和性能损失。