使用Multi Parametric Toolbox求解线性矩阵不等式

"该资源是一份关于如何使用Multi Parametric Toolbox在MATLAB中解决线性矩阵不等式（LMI）问题的PPT。由Maurice Heemels、Bas van Loon和Niek Borgers共同制作，日期为2014年11月30日。PPT通过具体的例子和一般步骤介绍了LMI求解的实践方法，并提到了一些相关的MATLAB命令和技术细节。" 线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequalities, LMI）在控制理论、优化问题和系统稳定性分析等领域有着广泛的应用。利用MATLAB的Multi Parametric Toolbox可以有效地求解这些不等式，从而帮助设计控制器或评估系统的性能。 首先，PPT中提到了一个激励例子——寻找二次Lyapunov函数。Lyapunov函数是稳定性分析中的关键工具，它用于证明系统的稳定性。线性系统的二次Lyapunov函数可以通过解不等式`A⊤P + PA < 0`和`P > 0`来寻找，其中`P`是正定矩阵，`A`是系统矩阵。这个不等式表示了能量函数的减小，是系统稳定的必要条件。 然后，PPT扩展到更复杂的场景，即存在多个状态方程的情况。在这种情况下，需要找到一个公共的二次Lyapunov函数满足多个不等式，如`A⊤_1P + PA_1 < 0`和`A⊤_2P + PA_2 < 0`。这在多模态系统或者存在不同操作条件的系统中尤其重要。 接着，PPT讨论了分段线性系统以及连续性条件，这里引入了S-Procedure。S-Procedure是一种处理线性不等式组的方法，它允许在不增加额外变量的情况下合并不等式，通常在处理约束时非常有用。 介绍了一般求解LMI问题的步骤： 1. 定义未知量：使用`sdpvar`函数创建变量，矩阵默认为对称。 2. 定义约束：根据问题设置相应的不等式或等式。 3. 合并约束：通过加法或串联操作组合约束。 4. 求解未知量：调用`solvesdp`函数解不等式。 5. 转换和检查解：将结果转换为双精度数值，并通过`sol.info`检查是否成功解出，建议手动再次验证解是否满足原始约束。 最后，PPT还列出了MATLAB中处理LMI问题的一些基本命令，如相等运算符`==`，不等式运算符`<=`, `>=`, `>`, `<`，以及矩阵条件（如eigenvalues）的表达方式`L=[M<0]`。 这份资源提供了使用Multi Parametric Toolbox解决LMI问题的全面指南，对于需要处理这类问题的工程师和研究人员来说是非常有价值的。