逻辑回归：二元分类与决策边界解析

逻辑回归(Logistic Regression)是机器学习中一种广泛应用于分类问题的算法，尤其是在二元分类（正向类与负向类）场景下。它在第6.1节中被详细探讨，其核心在于处理离散型输出变量$y$，如判断邮件是否垃圾、交易是否欺诈等。在这些问题中，$y$通常取值0（负向类）或1（正向类），线性回归并不适用，因为它可能导致预测值超出实际标签的范围（即大于1或小于0）。 逻辑回归的关键在于定义一个假设表示函数，也称为sigmoid函数，其输出值始终在0到1之间，确保了结果的可解释性。sigmoid函数形式如下： $$ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} $$ 这里，$z$是线性模型（通常由特征$x$和权重$w$决定）的输入，$\sigma(z)$的输出将模型的预测概率映射到0和1之间，使得结果更符合实际分类决策。 在6.2节，视频讲解了如何用数学表达式表示逻辑回归的假说，这涉及到对特征进行线性组合，然后通过sigmoid函数将其转换为概率形式。这种表示方式使得逻辑回归能够捕捉特征之间的非线性关系，并提供了对模型预测的信心度。 6.3判定边界指的是通过sigmoid函数的临界点（通常是0.5），模型预测正向类的概率超过0.5时，我们认为预测为正类，反之为负类。这个判定边界是逻辑回归模型决策的重要依据。 6.4代价函数，通常在训练模型时用于衡量预测结果与实际标签之间的差异，对于逻辑回归，最常使用的代价函数是交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）。这个函数鼓励模型输出与真实标签更接近的概率分布，从而优化模型参数。 6.5简化成本函数和梯度下降是优化算法的核心，通过迭代调整权重，最小化损失函数，使得模型在训练数据上的预测尽可能接近真实标签。梯度下降法在此过程中扮演关键角色，通过计算损失函数关于权重的梯度，逐次更新权重以降低代价。 6.6高级优化部分可能会探讨其他优化技术，比如批量梯度下降、随机梯度下降、Adam优化器等，以及可能的正则化策略，以防止过拟合并提高模型泛化能力。 6.7多类别分类：一对多（One-vs-All, One-vs-Rest）是逻辑回归扩展到多类别问题的方法，通过建立多个独立的二分类模型，每个模型对应一个类别，最后根据各个模型的预测概率选择概率最高的类别作为最终分类结果。 总结来说，逻辑回归作为基础且实用的机器学习方法，通过假说表示、sigmoid函数和代价函数优化，解决了二元和多类别分类问题，是理解和实践机器学习算法不可或缺的一部分。