中心差分格式数值解MATLAB实现：二阶常微分方程边值问题

"该资源是关于使用中心差分格式求解二阶常微分方程边值问题的数值实验，附带MATLAB源代码。实验中详细介绍了问题设定、网格剖分、差分格式和截断误差分析，并通过具体数值例子展示了计算过程和结果。" 在数值计算领域，中心差分格式是一种常见的方法，用于近似解决二阶常微分方程。在这个实验中，我们关注的是具有以下形式的边值问题： \[ \frac{d^2u}{dx^2} = f(x) \quad \text{在} \quad [a, b] \] \[ u(a) = q_1, \quad u(b) = q_2 \] 其中，\( q(x) \) 和 \( f(x) \) 是在区间 [a, b] 上的连续函数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是常数。 为了求解这个问题，首先进行网格剖分，将区间 [a, b] 分成 N 个等分，每个子区间的长度为 h。这样就得到了一系列的网格节点 \( x_i = a + ih \)。 中心差分格式是这样的： \[ \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2} \approx f(x_i) \] 这个离散化过程会产生截断误差。通过泰勒公式展开，我们可以得到在节点处的误差表达式，从而分析截断误差。 在数值例子中，假设有一个特定的二阶微分方程： \[ \frac{d^2u}{dx^2} = e^x\sin x \quad \text{在} \quad [0, 1] \] \[ u(0) = 1, \quad u(1) = e \] 利用中心差分格式，可以构建一个线性系统来求解 \( u(x) \) 的数值解。系数矩阵 A 可以根据差分格式和边界条件构建，并通过求解线性系统得到 \( u(x) \) 在各个网格点的值。 实验给出了当 N 分别为 10 和 100 时的计算结果，显示了随着网格细分，解的精度提高。最后，附带的 MATLAB 源代码可以用于实际运行实验，验证理论计算。 实验报告中提到的参考文献包括《偏微分方程数值解法》和《数值计算方法》，这两本书可能提供了更多关于数值解法的详细信息和理论基础。 这个资源提供了一个完整的数值试验框架，适合学习和理解中心差分格式在解决二阶常微分方程边值问题中的应用，同时也为使用 MATLAB 进行数值计算提供了实践指导。