动态规划：理论与例题详解——ACM/ICPC算法入门

动态规划是ACM程序设计中的重要算法策略，用于解决具有最优子结构性质和子问题重叠性质的问题。它是一种通过将复杂问题分解为相互关联的小问题，然后递归地求解这些子问题，存储中间结果以避免重复计算的方法。动态规划的核心思想包括： 1. **基本思想**：动态规划的关键在于定义问题的状态、阶段、决策以及状态转移方程。它不同于分治法，分治法虽然也将问题分解，但子问题之间通常相互独立；而动态规划的子问题重叠，意味着同一个子问题可能在不同的路径中被多次计算，通过预处理和存储解决方案可以显著减少冗余工作。 2. **设计步骤**： - **识别最优性质和结构特征**：理解问题的最优解是如何通过子问题组合而成的。 - **建立动态规划方程**：通过递归方式定义最优解的表达式，通常是自底向上计算，从最简单的情况开始。 - **自底向上求解**：从最简单的子问题逐步构建最终解，记录计算过程。 - **构造最优解**：在需要时，根据计算过程的信息构造实际的解，若只求最优值可省略这一步。 3. **问题特征**： - **最优子结构**：问题的全局最优解可以通过其子问题的最优解组合得出。 - **子问题重叠**：在递归过程中，动态规划利用这一特性，避免对相同子问题的重复求解。 4. **解题条件**： - **最优化原则**：问题需要有明确的最优解目标。 - **无后效性**：问题的结果不受未来决策影响，即子问题的解独立于后续的决策。 在ACM/ICPC竞赛中，动态规划常用于解决诸如背包问题、最长公共子序列、矩阵链乘法等优化问题。例如，例题" Piggy Bank (POJ 1384)"可能涉及如何有效地管理或分配资源，利用动态规划的技巧来找到最优解。 书中提到的《ACM/ICPC算法训练教程》是南京理工大学ACM/ICPC集训队为参赛者准备的教材，涵盖了动态规划在内的多种算法方法，如穷举法、递归法、分治法、贪心法、模拟法等，以及数据结构（如查找、排序、并查集、堆、哈希表、线段树）、数论（素数、最大公约数、整数因子分解）、计算几何和图算法等内容，旨在帮助学生提升算法设计和问题解决能力。对于初学者和有一定基础的编程爱好者来说，这是一个很好的学习资源，可以帮助他们在实际竞赛中取得优异的成绩。