华南理工2009信号与系统考研试题解析

华南理工大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试卷，信号与系统科目的题目涵盖了多个方面的信号与系统理论知识。以下是对部分题目知识点的详细解析： 1. **基波周期**：题目要求计算复指数信号 \( e^{jn\omega t} \) 的基波周期，其中 \( n = \frac{2\pi}{\omega} \)。由于未提供具体的 \( \omega \)，一般而言，基波周期 \( T \) 由 \( 2\pi/\omega \) 决定，如果 \( \omega \) 为 \( \pi \) rad/s，则周期 \( T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \) 秒。 2. **幅度调制**：题目涉及到幅度调制，即信号 \( x(t) = A \sin(\omega t) \) 与载波 \( g(t) = \sin(2\pi f_c t) \) 相乘。解调方法可能是双边带调制（DSB），图1中的解调过程可能涉及检波器，其截止频率为 \( f_c \)。输出 \( y(t) \) 会含有载波分量，确定 \( g(t) \) 的系数通常依赖于具体解调方法，但这里没有给出详细步骤，所以 \( g(t) \) 的表达式无法直接给出。 3. **线性时不变(LTI)系统**：题目中的系统具有单位冲激响应 \( h(t) \) 和输入 \( u(t) \) 时的输出 \( y(t) \) 满足微分方程。输出可以通过卷积得到，即 \( y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) u(\tau) d\tau \)。根据微分方程 \( \frac{d^2}{dt^2}h(t) + 2k\frac{dh}{dt} + k^2h(t) = u(t) \)，可以推导出 \( h(t) \) 的形式，进而计算 \( k \) 的值。 4. **信号的傅里叶变换**：两个正弦信号 \( x(t) = 50\sin(\pi t) + 100\sin(2\pi t) \) 的傅里叶变换涉及到正弦函数的线性组合，可以表示为 \( X(f) = \mathcal{F}\{x(t)\} \)，具体表达式将包括两部分的幅度谱和相位谱。 5. **滤波器输出**：对于信号 \( y_n(t) \) 经过理想低通或高通滤波器，输出取决于滤波器的截止频率、通带增益和输入信号的频率特性。输出 \( y_{LPF}(t) \) 和 \( y_{HPF}(t) \) 分别是信号在不同频率域的变换结果。 6. **LTI系统的微分方程**：题目给出了系统的动态关系，通过拉普拉斯变换 \( H(s) = L\{h(t)\} \) 可以找到系统函数，若系统稳定，\( H(s) \) 在虚轴上的值应具有负实部。单位冲激响应 \( h(t) \) 可以通过 \( H(s) \) 解析得到。 7. **单位阶跃函数的频域特性**：\( x(t) = \delta(t) \) 的幅频响应和相频响应分别对应于单位阶跃函数在频域的幅值和相位特性，对于阶跃函数，幅频响应为常数，相频响应则为无限陡峭的斜率。 总结来说，这份试卷主要考察了信号与系统的基本概念、基本运算（如傅里叶变换）、滤波器设计、LTI系统分析以及频域响应的理解。考生需要具备扎实的数学基础和信号处理原理才能解答这些问题。