蓝桥杯决赛编程题解析：四方定理与加密算法

"2011年暑假蓝桥杯决赛题附答案，包含两道编程题目，一是关于四方定理的实现，二是涉及简单的加密算法。" 在这次蓝桥杯决赛中，有两个主要的编程问题涉及到数论和密码学。 1. 四方定理： 四方定理是一个数论概念，表明任何自然数都可以表示为最多四个整数平方的和。在给定的代码中，`f` 函数的目标是找到这样的平方和分解。函数接受三个参数：`n`（要分解的自然数）、`a`（存储结果的数组）和`idx`（当前分解的位置）。填空1应检查是否已经找到了四个平方数，即`idx == 4`时返回0，表示已经找到了四个数的平方和等于`n`。填空2需要判断当前`i`的平方是否小于等于`n`并更新数组`a`后，递归调用`f`函数，确保可以继续寻找剩余的平方数。如果找到合适的平方数，返回1表示成功。 完整的`f`函数可能如下所示： ```cpp int f(int n, int a[], int idx) { if (idx == 4) return 0; if (n <= 0) return 1; // 填空1 for (int i = (int)sqrt(n); i >= 1; i--) { a[idx] = i; if (f(n - i * i, a, idx + 1) == 1) return 1; // 填空2 } return 0; } ``` 2. 加密算法： 这是一个简单的异或加密方法，其中使用了一个二进制密钥对原始文本进行操作。加密和解密过程相同，因为异或操作具有自反性。代码中的`f`函数实现了这个过程，它接受一个字符数组`buf`（要加密的文本）、一个无符号字符数组`uckey`（密钥，以字符串形式表示）和`n`（文本长度）。填空部分要求将`uckey`转换为按位存储的形式以便进行异或操作。 为了将`key`字符串转换为按位存储的二进制密钥，需要计算密钥的长度，并将其除以8得到实际的二进制字节数，然后对密钥进行填充以使其长度为8的倍数。接下来，可以逐字节地异或`buf`和`uckey`。 完整`main`函数可能如下所示： ```cpp int main(int argc, char* argv[]) { char p[] = "abcd中国人123"; // 待加密串 char key[] = "11001100010001110"; int n = strlen(p); // 转换密钥为二进制字节数组 unsigned char uckey[32]; // 假设密钥最多32字节 int key_len = strlen(key) / 8; int key_byte_idx = 0; for (int i = 0; i < key_len; i++) { int byte = 0; for (int j = 0; j < 8; j++) { byte |= (key[key_byte_idx++] - '0') << (7 - j); } uckey[i] = byte; } f(p, uckey, n); // 对p进行加密 return 0; } ``` 这两道题目考察了参赛者的基本编程技巧、理解和实现数学理论（四方定理）以及理解简单加密算法的能力。在实际编程比赛中，这样的题目可以帮助评估选手的逻辑思维、算法设计以及问题解决能力。