MATLAB单纯形法详解：对偶问题性质与实例分析

本资源提供了一段关于Matlab中单纯形法的详细解释和应用，主要涉及对偶线性规划问题的相关理论。首先，通过定理1，我们学习了如何将一个线性规划问题（LP）的对偶问题形式化。原问题（2.8）的对偶问题（2.9）是通过将约束条件取反、目标函数方向反转以及矩阵转置得到的，具体形式如： 原问题（2.8）： \[ \max c^Tx \quad \text{s.t.} \quad Ax \leq b, \ x \geq 0 \] 对偶问题（2.9）： \[ \min -y^Tb \quad \text{s.t.} \quad A^Ty \geq c, \ y \geq 0 \] 定理2阐述了两个问题的可行性与目标函数值的关系：若原问题和对偶问题都有可行解，那么它们的目标函数值存在界限。例如，原问题的最大值不会超过对偶问题的最小值的上界，反之亦然。 接着，通过例1演示了如何估计和验证对偶问题目标函数值的界限，以及定理2的应用。原问题和对偶问题的实例分别为： \[ \max 3x_1 + 4x_2 \quad \text{s.t.} \quad 2x_1 + x_2 \leq 10, \ x_1, x_2 \geq 0 \] \[ \min -10y_1 - 15y_2 \quad \text{s.t.} \quad 2y_1 + 4y_2 \geq 3, \ y_1, y_2 \geq 0 \] 定理3，即对偶定理，表明如果一个问题有最优解，那么它的对偶问题也一定有最优解，而且两者的目标函数值相等。这证明了对偶问题在优化过程中的重要性，因为可以通过解决一个更易处理的问题（如对偶问题）来获取原始问题的最优解。 最后，给出的证据包括一个最优解的检验数表示（2.10），这是单纯形法求解过程中关键的步骤，它有助于确定变量的更新方向和步骤，直到达到最优解或证明无解。 总结来说，这段资源详细介绍了如何利用Matlab实现单纯形法求解线性规划的对偶问题，包括问题的转换、对偶性质的证明以及实际问题的应用示例。这对于理解和使用Matlab解决线性规划优化问题具有很高的参考价值。