MATLAB解方程与函数极值教程：从线性到非线性

"本教学课件详细介绍了MATLAB在解方程与求函数极值方面的应用，涵盖了非线性方程数值求解和函数极值的计算方法。" 在MATLAB中，解决线性和非线性方程是数值分析的重要部分。在第6章中，我们主要关注两个主题：非线性方程的数值求解和函数极值的找寻。 首先，讲解了线性方程组的求解。以一个具体的方程组为例，展示了三种不同的解法。解法1利用矩阵运算，通过计算矩阵`a`的秩(rank)和将其转化为行简化阶梯形矩阵(rref)，结合向量`b`来求解。解法2利用矩阵除法`(a\b)`直接得到方程组的唯一解，同时通过计算null空间找到通解的形式。解法3则是使用`solve`函数，尽管在这个例子中并不适用，但`solve`通常用于更复杂的符号运算。 接着，详细讨论了非线性方程的数值求解。在MATLAB中，单变量非线性方程的根可以通过`fzero`函数来找寻。这个函数接受一个表示方程的函数句柄`fname`，以及初始猜测值`x0`，并返回离`x0`最近的根。`fzero`的调用格式还允许设置精度`tol`和是否显示迭代信息`trace`。通过一个例子，展示了如何创建一个名为`funx.m`的函数文件，然后使用`fzero`求解方程`f(x)=x-10^x+2`在`x0=0.5`处的根。 对于非线性方程组`F(X)=0`，MATLAB提供了`fsolve`函数。它的基本使用方式是提供定义方程组的函数句柄`fun`，以及初始解的猜测`X0`。`fsolve`还允许通过`option`参数来设置最优化工具箱的各种选项，如中间结果的显示方式等。`optimset`命令可以用来查看和修改这些选项，如`Display`选项可以控制输出信息的详细程度。 函数极值的寻找在MATLAB中涉及到对函数的微分和极值点的检测。可以使用`fminbnd`或`fminunc`等函数来寻找单变量函数的最小值，而`fmincon`则适用于带有约束条件的情况。对于多变量函数，`fminsearch`或`fsolve`配合梯度信息可以找到局部极值点，而全局优化函数如`global`或`patternsearch`则可以尝试找到全局极值。 在实际应用中，理解并掌握这些工具可以帮助我们高效地解决各种工程和科学问题中的方程求解和极值计算。MATLAB提供的强大功能使得这些复杂计算变得简单，同时也强调了在使用过程中根据具体问题选择合适的算法和工具的重要性。